e pede o conjunto dos pontos onde f é contínua. Vamos usar que quocientes de polinômios são contínuos onde o denominador não zera e analisar a continuidade em (0,0) por meio de limites.
Passo 2
Se (x,y)neq(0,0), então
x^2+xy+y^2>0
(pois o discriminante 1-4<0 impede raízes não triviais), logo f(x,y)=xyx^2+xy+y^2 é um quociente de polinômios com denominador não nulo. Assim f é contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0).
Passo 3
Para testar a continuidade em (0,0), calculamos o limite ao longo da reta y=mx. Temos
que depende de m. Como esse valor varia com a inclinação m, o limite lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não existe. Como f(0,0)=0, concluímos que f não é contínua em (0,0).