Determine o conjunto dos pontos de continuidade das funções:
f(x, y)= x yx^2+x y+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= xyx^2+xy+y^2,&se (x,y)neq(0,0), 0,&se (x,y)=(0,0),
e pede o conjunto dos pontos onde f é contínua. Vamos usar que quocientes de polinômios são contínuos onde o denominador não zera e analisar a continuidade em (0,0) por meio de limites.

Passo 2

Se (x,y)neq(0,0), então
x^2+xy+y^2>0
(pois o discriminante 1-4<0 impede raízes não triviais), logo f(x,y)=xyx^2+xy+y^2 é um quociente de polinômios com denominador não nulo. Assim f é contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Para testar a continuidade em (0,0), calculamos o limite ao longo da reta y=mx. Temos
f(x,mx) =x,(mx)x^2+x,(mx)+(mx)^2 =m,x^2x^2(1+m+m^2) =m1+m+m^2,
que depende de m. Como esse valor varia com a inclinação m, o limite
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não existe. Como f(0,0)=0, concluímos que f não é contínua em (0,0).

Resposta

O conjunto dos pontos de continuidade de f é
l(x,y)inR^2 : (x,y)neq(0,0)r

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