Calcule o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (0,0) x^2 sen^2(y)x^2+2 y^2

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
lim(x,y)to(0,0) x^2sen^2(y)x^2+2y^2
O conteúdo é limite de função de duas variáveis. Vamos usar duas ideias: (i) estudar caminhos simples para “adivinhar” o valor e (ii) aplicar o Teorema do Confronto (squeeze) usando a desigualdade lvertsen(y)rvert<=lvert yrvert.

Passo 2

Para “sentir” o limite, examinamos uma reta y = kx. Substituindo:
x^2sen^2(kx)x^2+2(kx)^2 =x^2sen^2(kx)x^2(1+2k^2) =sen^2(kx)1+2k^2;
Como sen(kx)to0 quando xto0, segue que esse quociente tende a
0^21+2k^2=0
Isso sugere que o limite seja 0.

Passo 3

Para provar formalmente, note que
lvertsen(y)rvert<=lvert yrvert Longrightarrow sen^2(y)<= y^2
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0<= x^2sen^2(y)x^2+2y^2 <= x^2y^2x^2+2y^2

Passo 4

Basta mostrar que o termo à direita tende a zero. Observe que, por AM–GM,
x^2+2y^2;>=;2raiz2,lvert x yrvert Longrightarrow x^2y^2x^2+2y^2 <= x^2y^22raiz2,lvert x yrvert =lvert x yrvert2raiz2
Como lvert x yrvert/(2raiz2)to0 quando (x,y)to(0,0), pelo Teorema do Confronto a expressão original vai a 0.

Resposta

lim(x,y)to(0,0) x^2sen^2(y)x^2+2y^2 = 0

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