Calcule o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (2,1) (x+y-1)^2x^2+y^2-4 x+2 y+5

Passo 1

Vamos calcular o limite da função (x+y-1)^2x^2+y^2-4x+2y+5 quando (x, y) se aproxima de (2,1). Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e verificar se o limite existe.

Passo 2

Primeiro, vamos avaliar o numerador e o denominador da função no ponto (2,1).
Calculando o numerador:
(x + y - 1)^2 = (2 + 1 - 1)^2 = (2)^2 = 4

Passo 3

Agora, vamos calcular o denominador no mesmo ponto:
x^2 + y^2 - 4x + 2y + 5 = (2)^2 + (1)^2 - 4 times 2 + 2 times 1 + 5 = 4 + 1 - 8 + 2 + 5 = 4

Passo 4

Como tanto o numerador quanto o denominador resultam em 4 quando (x, y) se aproxima de (2,1), podemos concluir que a função está bem definida nesse ponto e é contínua. Portanto, o limite da função nesse ponto é a divisão dos valores obtidos.

Resposta

lim (x, y) (2,1) (x+y-1)^2x^2+y^2-4 x+2 y+5 = 44 = 1

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