Considere a Função
Determine a imagem de
. Justifique sua resposta
Determine a imagem de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a imagem da função
. A matéria envolvida aqui é o estudo de funções e, mais especificamente, determinar qual o conjunto de valores que a função pode assumir, ou seja, a imagem da função. Para resolver isso, vamos precisar entender como as expressões dentro das raízes quadradas se comportam e quais valores elas podem atingir.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para cada parte da função separadamente para entender quais são os valores possíveis de cada termo. Temos duas raízes quadradas:
e
. Para que a raiz quadrada seja real, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero.
Passo 3
Vamos determinar o domínio de cada raiz:
-
Para
: -
-
-
- Então,
Isso significa quepode variar de 0 a 3, já que o maior valor ocorre quando (ou seja, ) e o menor quando . -
-
Para
: -
-
-
- Então,
Aqui,varia de 0 a 2. -
Passo 4
Agora que sabemos os intervalos de cada raiz, vamos ver o que acontece quando subtraímos uma da outra:
- O primeiro termo,
, varia de 0 a 3. - O segundo termo,
, varia de 0 a 2.
Para encontrar a imagem de
, precisamos ver qual é a diferença possível entre esses dois termos:
- O menor valor de
ocorre quando o primeiro termo é mínimo (0) e o segundo é máximo (2): . - O maior valor de
ocorre quando o primeiro termo é máximo (3) e o segundo é mínimo (0): .
Passo 5
Concluindo, a função
pode assumir todos os valores entre -2 e 3. Isso significa que a imagem de
é o intervalo fechado de -2 a 3.
Resposta
A imagem de
é todo número real
tal que
.