Considere a Função f(x, y)=raiz9-(x-5)^2-raiz4-(y-3)^2
Determine a imagem de f. Justifique sua resposta

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a imagem da função f(x, y) = raiz9 - (x-5)^2 - raiz4 - (y-3)^2 . A matéria envolvida aqui é o estudo de funções e, mais especificamente, determinar qual o conjunto de valores que a função pode assumir, ou seja, a imagem da função. Para resolver isso, vamos precisar entender como as expressões dentro das raízes quadradas se comportam e quais valores elas podem atingir.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para cada parte da função separadamente para entender quais são os valores possíveis de cada termo. Temos duas raízes quadradas: raiz9 - (x-5)^2 e raiz4 - (y-3)^2 . Para que a raiz quadrada seja real, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero.

Passo 3

Vamos determinar o domínio de cada raiz:
  • Para raiz9 - (x-5)^2 :
    • 9 - (x-5)^2 >= 0
    • (x-5)^2 <= 9
    • -3 <= x-5 <= 3
    • Então, 2 <= x <= 8
    Isso significa que raiz9 - (x-5)^2 pode variar de 0 a 3, já que o maior valor ocorre quando (x-5)^2 = 0 (ou seja, x = 5 ) e o menor quando (x-5)^2 = 9 .
  • Para raiz4 - (y-3)^2 :
    • 4 - (y-3)^2 >= 0
    • (y-3)^2 <= 4
    • -2 <= y-3 <= 2
    • Então, 1 <= y <= 5
    Aqui, raiz4 - (y-3)^2 varia de 0 a 2.

Passo 4

Agora que sabemos os intervalos de cada raiz, vamos ver o que acontece quando subtraímos uma da outra:
  • O primeiro termo, raiz9 - (x-5)^2 , varia de 0 a 3.
  • O segundo termo, raiz4 - (y-3)^2 , varia de 0 a 2.
Para encontrar a imagem de f(x, y) , precisamos ver qual é a diferença possível entre esses dois termos:
  • O menor valor de f(x, y) ocorre quando o primeiro termo é mínimo (0) e o segundo é máximo (2): 0 - 2 = -2 .
  • O maior valor de f(x, y) ocorre quando o primeiro termo é máximo (3) e o segundo é mínimo (0): 3 - 0 = 3 .

Passo 5

Concluindo, a função f(x, y) pode assumir todos os valores entre -2 e 3. Isso significa que a imagem de f é o intervalo fechado de -2 a 3.

Resposta

A imagem de f é todo número real f tal que -2 <= f <= 3 .

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