Calcule o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,7) 20 y sen xx y+3 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
lim(x,y)to(0,7) 20,y,sen xx,y+3,x
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e vamos aproveitar manipulação algébrica e o limite fundamental limxto0sen xx=1.

Passo 2

Primeiro observo que no denominador posso fatorar x:
x,y+3,x = x,(y+3)
Logo a função fica
20,y,sen xx,y+3,x = 20,y,sen xx,(y+3) = 20,yy+3,cdot,sen xx

Passo 3

Como 20,yy+3 é contínua em y=7 e sen xx tende a 1 quando xto0, pelo teorema do limite de produto temos
lim(x,y)to(0,7) 20,yy+3,sen xx = l(limyto720,yy+3r),cdot,l(limxto0sen xxr)

Passo 4

Calculo separadamente
limyto720,yy+3 = 20cdot77+3 = 14010 =14 e limxto0sen xx=1
Multiplicando, o limite da função original é 14.

Resposta

lim(x,y)to(0,7) 20,y,sen xx,y+3,x = 14

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