Considere a Função temperatura T(x, y)=x+7 y-y^2 no plano xy
Determine os pontos dessa isoterma pertencente à reta 2y-x=8

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função que nos dá a temperatura T(x, y) = x + 7y - y^2 no plano xy. A missão aqui é encontrar os pontos dessa isoterma (ou seja, os pontos onde a temperatura é a mesma) que também estão na reta 2y - x = 8. Para resolver isso, vamos precisar mexer com equações de duas variáveis e substituir uma na outra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “isoterma”. É simplesmente uma curva que conecta todos os pontos com a mesma temperatura. Então, se fixarmos um valor para T(x, y), estaremos traçando essa curva no plano.

Passo 3

Agora, como queremos os pontos que estão tanto na isoterma quanto na reta 2y - x = 8, vamos precisar resolver essas duas equações juntas. Basicamente, vamos substituir uma equação na outra para encontrar os valores de x e y que satisfazem ambas.

Passo 4

Vamos começar resolvendo a equação da reta para uma das variáveis. Vamos isolar o x:
2y - x = 8 Rightarrow x = 2y - 8

Passo 5

Com o x expresso em termos de y, vamos substituir essa expressão na função da temperatura:
T(x, y) = x + 7y - y^2 T(2y - 8, y) = (2y - 8) + 7y - y^2 T(2y - 8, y) = 9y - 8 - y^2

Passo 6

Até aqui, temos a expressão da temperatura em termos de y quando a reta 2y - x = 8 é considerada. Para encontrar os pontos específicos, precisamos saber para qual valor de temperatura estamos resolvendo. Como o enunciado não especifica um valor, vamos considerar que queremos expressar a relação entre x e y que satisfaz ambas as equações.

Passo 7

Assim, os pontos que pertencem à isoterma e à reta são aqueles onde:
x = 2y - 8 T(x, y) = 9y - 8 - y^2
Portanto, qualquer par (x, y) que satisfaça essas duas equações será um ponto buscado.

Resposta

Os pontos da isoterma T(x, y) = x + 7y - y^2 que pertencem à reta 2y - x = 8 são todos os pares (x, y) onde x = 2y - 8 e a temperatura T é igual a 9y - 8 - y^2. Em outras palavras, os pontos satisfazem:
x = 2y - 8 T(x, y) = 9y - 8 - y^2

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