Calcule o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (2,-1) (x+y-1)^2x^2+y^2-4 x+2 y+5

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite da função lim (x, y) (2,-1) (x+y-1)^2x^2+y^2-4 x+2 y+5. Esse problema está na área de cálculo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como a função se comporta conforme o ponto (x, y) se aproxima de (2, -1), simplificar a expressão e verificar se o limite existe.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente x = 2 e y = -1 na função para ver se obtemos um valor definido ou uma indeterminação.
Numerador:
(2 + (-1) - 1)^2 = (0)^2 = 0
Denominador:
2^2 + (-1)^2 - 4 cdot 2 + 2 cdot (-1) + 5 = 4 + 1 - 8 - 2 + 5 = 0
Portanto, temos uma forma indeterminada 00, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos simplificar o denominador x^2 + y^2 - 4x + 2y + 5. Para facilitar, podemos completar os quadrados:
Para x:
x^2 - 4x = (x^2 - 4x + 4) - 4 = (x - 2)^2 - 4
Para y:
y^2 + 2y = (y^2 + 2y + 1) - 1 = (y + 1)^2 - 1
Agora, substituímos de volta no denominador:
(x - 2)^2 - 4 + (y + 1)^2 - 1 + 5 = (x - 2)^2 + (y + 1)^2
Então, a função fica:
(x + y - 1)^2(x - 2)^2 + (y + 1)^2

Passo 4

Agora, vamos analisar a expressão simplificada:
(x + y - 1)^2(x - 2)^2 + (y + 1)^2
Queremos calcular o limite quando (x, y) se aproxima de (2, -1). Vamos fazer uma substituição para facilitar a visualização. Seja u = x - 2 e v = y + 1. Quando (x, y) (2, -1), temos (u, v) (0, 0).
Substituindo:
x = 2 + u e y = -1 + v
A função fica:
(2 + u + (-1) + v - 1)^2u^2 + v^2 = (u + v)^2u^2 + v^2

Passo 5

Agora, queremos encontrar:
lim (u, v) (0,0) (u + v)^2u^2 + v^2
Para calcular esse limite, podemos converter para coordenadas polares, onde u = r cos theta e v = r sin theta, com r 0. Substituindo:
(r cos theta + r sin theta)^2r^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta = r^2 (cos theta + sin theta)^2r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = (cos theta + sin theta)^21
Então, o limite depende apenas de theta:
(cos theta + sin theta)^2

Passo 6

Como o resultado (cos theta + sin theta)^2 depende do ângulo theta, diferentes valores de theta gerarão diferentes resultados. Por exemplo:
  • Se theta = 0:
(cos 0 + sin 0)^2 = (1 + 0)^2 = 1
  • Se theta = pi4:
(raiz22 + raiz22)^2 = (raiz2)^2 = 2
  • Se theta = pi2:
(cos pi2 + sin pi2)^2 = (0 + 1)^2 = 1
Como obtivemos valores diferentes dependendo da direção de abordagem ( theta), isso indica que o limite não é o mesmo em todas as direções.

Resposta

O limite não existe.

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