Calcule o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o limite da função
. Esse problema está na área de cálculo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como a função se comporta conforme o ponto
se aproxima de
, simplificar a expressão e verificar se o limite existe.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir diretamente
e
na função para ver se obtemos um valor definido ou uma indeterminação.
Numerador:
Denominador:
Portanto, temos uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Vamos simplificar o denominador
. Para facilitar, podemos completar os quadrados:
Para
:
Para
:
Agora, substituímos de volta no denominador:
Então, a função fica:
Passo 4
Agora, vamos analisar a expressão simplificada:
Queremos calcular o limite quando
se aproxima de
. Vamos fazer uma substituição para facilitar a visualização. Seja
e
. Quando
, temos
.
Substituindo:
A função fica:
Passo 5
Agora, queremos encontrar:
Para calcular esse limite, podemos converter para coordenadas polares, onde
e
, com
. Substituindo:
Então, o limite depende apenas de
:
Passo 6
Como o resultado
depende do ângulo
, diferentes valores de
gerarão diferentes resultados. Por exemplo:
- Se
:
- Se
:
- Se
:
Como obtivemos valores diferentes dependendo da direção de abordagem (
), isso indica que o limite não é o mesmo em todas as direções.
Resposta
O limite não existe.