Justifique as seguintes igualdades:
sumn=1^+infty 2 n+1n^2(n+1)^2=1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
sumn=1^+infty 2n+1n^2(n+1)^2
converge para 1.
O conteúdo principal aqui é usar decomposição em frações parciais para transformar o termo geral em uma forma que “cancele” ao somar (série telescópica).

Passo 2

Vamos escrever
e determinar
Comparando coeficientes de polinômios em resulta o sistema
Daí , e . Logo

Passo 3

Definindo a soma parcial
SN=sumn=1^Nl(1n^2-1(n+1)^2r),
vemos que é uma série telescópica, pois ao expandir todos os termos quase tudo se cancela:
SN =l(11^2-12^2r) +l(12^2-13^2r) +cdots +l(1N^2-1(N+1)^2r) =1-1(N+1)^2

Passo 4

Para obter a soma da série infinita, tomamos o limite quando Ntoinfty:
sumn=1^infty2n+1n^2(n+1)^2 =limNtoinftySN =limNtoinftyl(1-1(N+1)^2r) =1

Resposta

1

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