Calcule o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando \(x,y)\ se aproxima de \(0,0)\. O conteúdo aqui é limite em várias variáveis e vamos precisar usar o teste de caminhos (ou retas) para verificar se o limite independe da direção de aproximação.

Passo 2

Em teoria, para que \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) exista, o valor de \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) deve ser o mesmo para qualquer caminho de aproximação. Se encontrarmos duas direções que dão resultados distintos, concluímos que o limite não existe.

Passo 3

Vamos nos aproximar pela reta \displaystyle y = m x. Substituindo na expressão temos:
8x^2y^2x^4+y^4 = 8x^2(m x)^2x^4+(m x)^4
Agora simplificamos:
8m^2x^4x^4(1+m^4) = 8m^21+m^4
Note que esse valor depende de \m\, ou seja, muda conforme variamos a inclinação da reta.

Passo 4

Escolhendo valores diferentes de \m\ comprova a dependência: para \m=0\ (eixo x) o limite é \displaystyle0\; para \m=1\ dá \displaystyle\frac{8}{2}=4\. Como obtemos resultados distintos, o limite não pode existir.

Passo 5

Portanto, pela dependência do resultado em relação ao caminho de aproximação, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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