Nos Problemas 17-20, use o teorema de resíduos de Cauchy, onde for apropriado, para calcular a integral indicada ao longo do contorno especificado.
ointC z+1z^2(z-2 i) d z
© |z-2 i|=4

Passo 1

Nesse exercício temos a integral ointC z+1z^2(z-2i),dz, com o contorno C dado por |z-2i|=4. O conteúdo a usar é o teorema dos resíduos de Cauchy, que diz que a integral vale 2pi i vezes a soma dos resíduos dos polos internos ao contorno.

Passo 2

Identificamos as singularidades da função f(z)=z+1z^2(z-2i): um polo de ordem 2 em z=0 e um polo simples em z=2i. Como |0-2i|=2<4 e |2i-2i|=0<4, ambos os polos estão dentro do contorno.

Passo 3

Para o polo de ordem 2 em z=0, aplicamos a fórmula
Res(f,0)=11!limzto0ddzl[z^2f(z)r],
com z^2f(z)=z+1z-2i. Calculando a derivada:
$$
\frac{d}{dz}\frac{z+1}{z-2i}=\frac{(z-2i)-(z+1)}{(z-2i)2}=\frac{-2i-1}{(z-2i)2}.
ddzz+1z-2i=(z-2i)-(z+1)(z-2i)^2=-2i-1(z-2i)^2
\mathrm{Res}(f,0)=\frac{-2i-1}{(-2i)^2}=\frac{-2i-1}{-4}=\frac{1}{4}+\frac{i}{2}.
$$

Passo 4

Para o polo simples em z=2i, usamos
Res(f,2i)=limzto2i(z-2i)z+1z^2(z-2i)=z+1z^2|z=2i=2i+1(2i)^2=2i+1-4=-14-i2

Passo 5

Somando os resíduos internos:
Res(f,0)+Res(f,2i)=l(14+i2r)+l(-14-i2r)=0
Pelo teorema dos resíduos:
ointCf(z),dz=2pi isumRes=2pi icdot0=0

Resposta

0

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