Nos Problemas 17-20, use o teorema de resíduos de Cauchy, onde for apropriado, para calcular a integral indicada ao longo do contorno especificado.
©
©
Passo 1
Nesse exercício temos a integral
, com o contorno
dado por
. O conteúdo a usar é o teorema dos resíduos de Cauchy, que diz que a integral vale
vezes a soma dos resíduos dos polos internos ao contorno.
Passo 2
Identificamos as singularidades da função
: um polo de ordem 2 em
e um polo simples em
. Como
e
, ambos os polos estão dentro do contorno.
Passo 3
Para o polo de ordem 2 em
, aplicamos a fórmula
com
$$
\frac{d}{dz}\frac{z+1}{z-2i}=\frac{(z-2i)-(z+1)}{(z-2i)2}=\frac{-2i-1}{(z-2i)2}.
\mathrm{Res}(f,0)=\frac{-2i-1}{(-2i)^2}=\frac{-2i-1}{-4}=\frac{1}{4}+\frac{i}{2}.
$$
Passo 4
Para o polo simples em
, usamos
Passo 5
Somando os resíduos internos:
Pelo teorema dos resíduos:
Resposta
0