Calcule o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2}{x^2 + y^2}.
O conteúdo envolve limite de função de duas variáveis e precisamos verificar se o valor de \frac{x^2}{x^2+y^2} é independente da direção de aproximação ao ponto (0,0).

Passo 2

Introduzimos coordenadas polares pela mudança
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Substituindo na função, obtemos
\frac{x^2}{x^2 + y^2} = \frac{r^2\cos^2\theta}{r^2} = \cos^2\theta.
Note que, ao fazermos r\to0, a expressão resultante não depende de r, mas sim de \theta.

Passo 3

O valor de \cos^2\theta varia entre 0 e 1 conforme \theta. Por exemplo,
\theta = 0 \implies \cos^2(0) = 1,
\theta = \frac{\pi}{2} \implies \cos^2\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = 0.
Como o limite depende de \theta, não existe um valor único.

Resposta

O limite não existe.

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