Calcule o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}+\operatorname{sen}^{2}(y)}{2 x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}+\operatorname{sen}^{2}(y)}{2x^{2}+y^{2}}.
O conteúdo é limites em funções de duas variáveis e vamos verificar a existência do limite explorando diferentes caminhos de aproximação.

Passo 2

Considere o caminho y=0. Substituindo em
\frac{x^{2}+\operatorname{sen}^{2}(y)}{2x^{2}+y^{2}}
temos
\frac{x^{2}+\operatorname{sen}^{2}(0)}{2x^{2}+0} = \frac{x^{2}+0}{2x^{2}} = \frac12.
Portanto, ao longo de y=0 o limite é \tfrac12.

Passo 3

Considere agora o caminho x=0. Substituindo em
\frac{x^{2}+\operatorname{sen}^{2}(y)}{2x^{2}+y^{2}}
obtemos
\frac{0+\operatorname{sen}^{2}(y)}{0+y^{2}} = \frac{\operatorname{sen}^{2}(y)}{y^{2}}.
Como
\lim_{y\to0}\frac{\operatorname{sen}(y)}{y}=1,
segue que
\lim_{y\to0}\frac{\operatorname{sen}^{2}(y)}{y^{2}}=1.
Logo, ao longo de x=0 o limite é 1.

Passo 4

Os valores obtidos pelos dois caminhos são diferentes \tfrac12 e 1. Logo o limite não pode ser único.

Resposta

O limite não existe.

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