Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo local, mínimo local e ponto de sela da função
O conteúdo envolvido é cálculo de funções de duas variáveis: primeiro encontramos os pontos críticos resolvendo
e
, depois usamos o teste da Hessiana para classificar cada ponto.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais primeiras:
Para achar os pontos críticos, resolvemos simultaneamente
Passo 3
Da equação
vem
, logo
.
Da equação temos
, logo
ou
.
Assim, os pontos críticos são todas as combinações com
e
, totalizando seis pontos:
Da equação
Assim, os pontos críticos são todas as combinações
Passo 4
Para classificar cada ponto, calculamos as derivadas parciais segundas e a determina-nte da Hessiana:
A Hessiana é
O critério de classificação é:
- Se
e , ponto de mínimo local. - Se
e , ponto de máximo local. - Se
, ponto de sela.
Passo 5
Avaliando em cada ponto:
Para
:
e
⇒ máximo local.
Para
:
⇒ ponto de sela.
Para
:
⇒ ponto de sela.
Para
:
e
⇒ mínimo local.
Resposta
Máximo local em
.
Mínimos locais em e
.
Pontos de sela em ,
e
.
Mínimos locais em
Pontos de sela em