Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
f(x, y)=3 x-x^{3}-2 y^{2}+y^{4}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo local, mínimo local e ponto de sela da função
f(x,y)=3x - x^{3} - 2y^{2} + y^{4}.
O conteúdo envolvido é cálculo de funções de duas variáveis: primeiro encontramos os pontos críticos resolvendo f_x=0 e f_y=0, depois usamos o teste da Hessiana para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais primeiras:
f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 3 - 3x^{2}, \quad f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = -4y + 4y^{3}.
Para achar os pontos críticos, resolvemos simultaneamente
3 - 3x^{2} = 0, \quad -4y + 4y^{3} = 0.

Passo 3

Da equação 3 - 3x^{2}=0 vem x^{2}=1, logo x=\pm1.
Da equação -4y + 4y^{3}=0 temos 4y( -1 + y^{2})=0, logo y=0 ou y=\pm1.
Assim, os pontos críticos são todas as combinações (x,y) com x=\pm1 e y\in\{0,\pm1\}, totalizando seis pontos:
(1,0),\;(1,1),\;(1,-1),\;(-1,0),\;(-1,1),\;(-1,-1).

Passo 4

Para classificar cada ponto, calculamos as derivadas parciais segundas e a determina-nte da Hessiana:
f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -6x, \quad f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -4 + 12y^{2}, \quad f_{xy} = 0.
A Hessiana é
D(x,y) = f_{xx}\,f_{yy} - f_{xy}^{2} = \bigl(-6x\bigr)\bigl(-4 + 12y^{2}\bigr).
O critério de classificação é:
  • Se D>0 e f_{xx}>0, ponto de mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0, ponto de máximo local.
  • Se D<0, ponto de sela.

Passo 5

Avaliando em cada ponto:
Para (1,0):
f_{xx}=-6,\quad f_{yy}=-4,\quad D=(-6)(-4)=24>0,
e f_{xx}<0 ⇒ máximo local.
Para (1,\pm1):
f_{xx}=-6,\quad f_{yy}=8,\quad D=(-6)(8)=-48<0
⇒ ponto de sela.
Para (-1,0):
f_{xx}=6,\quad f_{yy}=-4,\quad D=(6)(-4)=-24<0
⇒ ponto de sela.
Para (-1,\pm1):
f_{xx}=6,\quad f_{yy}=8,\quad D=(6)(8)=48>0,
e f_{xx}>0 ⇒ mínimo local.

Resposta

Máximo local em (1,0).
Mínimos locais em (-1,1) e (-1,-1).
Pontos de sela em (1,1), (1,-1) e (-1,0).

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