Calcule o limite, se existir.
a) Verifique que \lim _{x \rightarrow 0} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right) não existe.
b) Calcule, caso exista, \lim _{x \rightarrow 0} x \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right). Justifique

Passo 1

O enunciado trata de limites de funções oscilantes. Em (a) precisamos verificar que \lim_{x\to0}\sin\bigl(\tfrac1x\bigr)
não existe devido à oscilação infinita de \sin(1/x) perto de zero. Em (b) queremos calcular \lim_{x\to0}x\sin\bigl(\tfrac1x\bigr)
e para isso usaremos o Teorema do Confronto (ou “squeeze theorem”).

Passo 2

Para (a), note que se escolhermos a sequência \displaystyle x_n=\frac{1}{\frac\pi2+2\pi n}, então x_n\to0 e \sin\bigl(\tfrac1{x_n}\bigr)=\sin\bigl(\tfrac\pi2+2\pi n\bigr)=1.
Por outro lado, se tomarmos \displaystyle y_n=\frac{1}{\frac{3\pi}2+2\pi n}, então y_n\to0 e \sin\bigl(\tfrac1{y_n}\bigr)=\sin\bigl(\tfrac{3\pi}2+2\pi n\bigr)=-1.

Passo 3

Como alongamos duas sequências em que a imagem tende a valores diferentes 1 e -1, não há valor único para \lim_{x\to0}\sin\bigl(\tfrac1x\bigr). Logo, esse limite não existe.

Passo 4

Para (b), observamos que para todo x\neq0 vale
-1\le \sin\bigl(\tfrac1x\bigr)\le 1,
multiplicando por x (supondo x>0 ou x<0 e usando o valor absoluto) obtemos
-|x|\le x\,\sin\bigl(\tfrac1x\bigr)\le |x|.

Passo 5

Como \lim_{x\to0}|x|=0, o Teorema do Confronto garante que
\lim_{x\to0}x\,\sin\bigl(\tfrac1x\bigr)=0.

Resposta

a) Não existe.
b) 0.

Exercícios relacionados