Seja a função f de \mathbb{R}_{-}em \mathbb{R}_{+}, definida por f(x)=x^{2}. Qual é a função inversa de f ?

Passo 1

O enunciado define a função
f\colon \mathbb{R}_{-}\to \mathbb{R}_{+}, \quad f(x)=x^{2},
querendo-se a inversa f^{-1}. O conteúdo aqui é “inversão de funções” e, em particular, a função quadrática restrita ao domínio \mathbb{R}_{-}, que a torna injetora.

Passo 2

Para ter inversa, f deve ser bijetora. Como f(x)=x^{2} em \mathbb{R}_{-}:
  • f(x)\ge0 para todo x\in\mathbb{R}_{-}, logo o contradomínio \mathbb{R}_{+} (que inclui 0) cobre todos os valores possíveis de f. Assim, f é sobrejetora.
  • Em \mathbb{R}_{-}, cada valor y\ge0 atende exatamente a uma solução x\le0 de x^{2}=y, garantindo injetividade.

Passo 3

Para achar a inversa, escrevemos y=f(x)=x^{2} e resolvemos em função de x:
y = x^{2} \quad\Longrightarrow\quad x = \pm\sqrt{y}.
Mas como o domínio original é \mathbb{R}_{-}, ficamos com a raiz negativa:
x = -\sqrt{y}.

Passo 4

Portanto, a função inversa f^{-1} é
f^{-1}\colon \mathbb{R}_{+}\to \mathbb{R}_{-}, \quad f^{-1}(y) = -\sqrt{y}.
Substituindo a variável de saída por x, uma notação comum é
f^{-1}(x) = -\sqrt{x}.

Resposta

f^{-1}(x) = -\sqrt{x}.

Exercícios relacionados