Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- A expressão é uma razão entre uma raiz quadrada no numerador e um polinômio no denominador.
- O limite é quando
tende a .
O que se pede: calcular o valor desse limite ou justificar por que ele não existe.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão para ver o comportamento das potências mais altas (domínio assintótico). No numerador há uma raiz quadrada com termo dominante
. Podemos fatorar
dentro da raiz. Usamos a propriedade
quando
e também que
. Assim:
Observação:
porque a raiz quadrada retorna um número não negativo, e isso é importante ao tratarmos
.
Passo 3
No denominador fatoramos
:
Note que
para todo
, portanto não há mudança de sinal ao fatorar.
Passo 4
Substituindo as fatorações na razão, obtemos
Agora simplificamos
. Como
, tem-se
Portanto a expressão vira
Passo 5
Agora analisamos os limites das duas partes quando
.
- Como
, temos , então
- As frações
, e tendem todas a quando . Logo
- Pelo teorema dos limites (produto de limites, desde que ambos existam finitamente), o produto tende a
Passo 6
Se quiser, pode-se ver também por desigualdades: para
com
grande, a razão dentro da raiz fica próxima de
e portanto a fração em fator tende a algo finito (próximo de
). Multiplicando um número limitado por
que tende a
dá
pelo princípio da comparação (squeeze/theorem). Isso confirma o resultado anterior.