Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{7 x^{6}+5 x^{4}+7}}{x^{4}+2}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{7 x^{6}+5 x^{4}+7}}{x^{4}+2}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma razão entre uma raiz quadrada no numerador e um polinômio no denominador.
  • O limite é quando x tende a -\infty.
O que se pede: calcular o valor desse limite ou justificar por que ele não existe.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão para ver o comportamento das potências mais altas (domínio assintótico). No numerador há uma raiz quadrada com termo dominante x^{6}. Podemos fatorar x^{6} dentro da raiz. Usamos a propriedade \sqrt{ab}=\sqrt{a}\,\sqrt{b} quando a,b\ge0 e também que \sqrt{x^{6}}=|x|^{3}. Assim:
\sqrt{7 x^{6}+5 x^{4}+7} = \sqrt{x^{6}\!\left(7+\frac{5}{x^{2}}+\frac{7}{x^{6}}\right)} = |x|^{3}\,\sqrt{\,7+\frac{5}{x^{2}}+\frac{7}{x^{6}}\,}.
Observação: \sqrt{x^{6}}=|x^{3}|=|x|^{3} porque a raiz quadrada retorna um número não negativo, e isso é importante ao tratarmos x\to -\infty.

Passo 3

No denominador fatoramos x^{4}:
x^{4}+2 = x^{4}\!\left(1+\frac{2}{x^{4}}\right).
Note que x^{4}>0 para todo x\neq0, portanto não há mudança de sinal ao fatorar.

Passo 4

Substituindo as fatorações na razão, obtemos
\frac{\sqrt{7 x^{6}+5 x^{4}+7}}{x^{4}+2} = \frac{|x|^{3}\,\sqrt{\,7+\dfrac{5}{x^{2}}+\dfrac{7}{x^{6}}\,}}{x^{4}\!\left(1+\dfrac{2}{x^{4}}\right)} = \frac{|x|^{3}}{x^{4}}\cdot \frac{\sqrt{\,7+\dfrac{5}{x^{2}}+\dfrac{7}{x^{6}}\,}}{1+\dfrac{2}{x^{4}}}.
Agora simplificamos \dfrac{|x|^{3}}{x^{4}}. Como x^{4}=|x|^{4}, tem-se
\frac{|x|^{3}}{x^{4}}=\frac{|x|^{3}}{|x|^{4}}=\frac{1}{|x|}.
Portanto a expressão vira
\frac{\sqrt{7 x^{6}+5 x^{4}+7}}{x^{4}+2} = \frac{1}{|x|}\cdot \frac{\sqrt{\,7+\dfrac{5}{x^{2}}+\dfrac{7}{x^{6}}\,}}{1+\dfrac{2}{x^{4}}}.

Passo 5

Agora analisamos os limites das duas partes quando x\rightarrow -\infty.
  • Como x\rightarrow -\infty, temos |x|\rightarrow +\infty, então
\frac{1}{|x|}\longrightarrow 0.
  • As frações \dfrac{5}{x^{2}}, \dfrac{7}{x^{6}} e \dfrac{2}{x^{4}} tendem todas a 0 quando x\rightarrow -\infty. Logo
\sqrt{\,7+\dfrac{5}{x^{2}}+\dfrac{7}{x^{6}}\,}\longrightarrow \sqrt{7}, \qquad 1+\dfrac{2}{x^{4}}\longrightarrow 1.
  • Pelo teorema dos limites (produto de limites, desde que ambos existam finitamente), o produto tende a
0\cdot \frac{\sqrt{7}}{1}=0.

Passo 6

Se quiser, pode-se ver também por desigualdades: para x com |x| grande, a razão dentro da raiz fica próxima de 7 e portanto a fração em fator tende a algo finito (próximo de \sqrt{7}). Multiplicando um número limitado por \dfrac{1}{|x|} que tende a 0 0 pelo princípio da comparação (squeeze/theorem). Isso confirma o resultado anterior.

Resposta

0

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