Determine cada limite:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left[1-\frac{1}{(x+1)^{2}}\right],

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite quando x tende a 0:
\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{x}\left[1-\frac{1}{(x+1)^{2}}\right].
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão é a função \dfrac{1}{x}\bigl(1-(x+1)^{-2}\bigr).
  • Ao substituir x=0 diretamente no colchete obtemos 1-1=0, e o fator externo \dfrac{1}{x} tende a infinito; portanto a forma aparente é uma indeterminação do tipo \dfrac{0}{0}.
    (Não vou resolver aqui ainda; apenas identifiquei o que é pedido e o que a expressão nos dá.)

Passo 2

Vamos começar simplificando algebricamente a expressão dentro dos colchetes. Colocando em denominador comum:
1-\frac{1}{(x+1)^{2}}=\frac{(x+1)^{2}-1}{(x+1)^{2}}.
Agora desenvolvo o numerador:
(x+1)^{2}-1 = (x^{2}+2x+1)-1 = x^{2}+2x.
Logo:
1-\frac{1}{(x+1)^{2}}=\frac{x^{2}+2x}{(x+1)^{2}}.

Passo 3

Substituo essa simplificação na expressão original:
\frac{1}{x}\left[1-\frac{1}{(x+1)^{2}}\right] = \frac{1}{x}\cdot\frac{x^{2}+2x}{(x+1)^{2}}.
Fatorando x no numerador x^{2}+2x = x(x+2) e cancelando o fator x (válido para x\neq0; para o limite estamos considerando x próximo de 0, não necessariamente igual a 0):
\frac{1}{x}\cdot\frac{x(x+2)}{(x+1)^{2}} = \frac{x+2}{(x+1)^{2}} \qquad\text{(para }x\neq0\text{)}.

Passo 4

Agora avaliamos o limite da função simplificada. A função racional \dfrac{x+2}{(x+1)^{2}} é contínua em pontos onde o denominador não é zero; em particular em x=0 o denominador (0+1)^{2}=1 é diferente de zero. Pela propriedade da continuidade, o limite quando x\to0 é simplesmente o valor da função em 0. Substituindo x=0:
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x+2}{(x+1)^{2}}=\frac{0+2}{(0+1)^{2}}=\frac{2}{1}=2.

Passo 5

(Vou mostrar uma alternativa — método de L’Hôpital — só para você ver outra maneira.) Reescrevendo o limite como
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-(x+1)^{-2}}{x},
temos indeterminação \dfrac{0}{0}. Aplicando a regra de L’Hôpital (derivando numerador e denominador):
\text{derivada do numerador} = \frac{d}{dx}\bigl(1-(x+1)^{-2}\bigr)=2(x+1)^{-3},
\text{derivada do denominador} = \frac{d}{dx}(x)=1.
Portanto a regra dá
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-(x+1)^{-2}}{x} = \lim_{x\rightarrow 0}2(x+1)^{-3}=2(1)^{-3}=2,
confirmando o resultado anterior.

Passo 6

Concluímos que o limite existe e é 2. Mandou bem por trazer essa questão — deu para ver várias técnicas simples: fatoração/cancelamento e L’Hôpital. Força aí que você tá dominando o jeitinho dessas contas!

Resposta

2

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