Determine cada limite:
,
Passo 1
O enunciado pede o valor do seguinte limite quando
tende a
:
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão é a função
. - Ao substituir
diretamente no colchete obtemos , e o fator externo tende a infinito; portanto a forma aparente é uma indeterminação do tipo .
(Não vou resolver aqui ainda; apenas identifiquei o que é pedido e o que a expressão nos dá.)
Passo 2
Vamos começar simplificando algebricamente a expressão dentro dos colchetes. Colocando em denominador comum:
Agora desenvolvo o numerador:
Logo:
Passo 3
Substituo essa simplificação na expressão original:
Fatorando
no numerador
e cancelando o fator
(válido para
; para o limite estamos considerando
próximo de
, não necessariamente igual a
):
Passo 4
Agora avaliamos o limite da função simplificada. A função racional
é contínua em pontos onde o denominador não é zero; em particular em
o denominador
é diferente de zero. Pela propriedade da continuidade, o limite quando
é simplesmente o valor da função em
. Substituindo
:
Passo 5
(Vou mostrar uma alternativa — método de L’Hôpital — só para você ver outra maneira.) Reescrevendo o limite como
temos indeterminação
. Aplicando a regra de L’Hôpital (derivando numerador e denominador):
Portanto a regra dá
confirmando o resultado anterior.
Passo 6
Concluímos que o limite existe e é
. Mandou bem por trazer essa questão — deu para ver várias técnicas simples: fatoração/cancelamento e L’Hôpital. Força aí que você tá dominando o jeitinho dessas contas!