Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
,
Passo 1
O enunciado pede o valor do seguinte limite quando
tende a infinito:
Informações dadas:
- O numerador é
. - O denominador é
. - Quer-se o limite quando
.
Passo 2
Ideia útil (explicada): quando
, as potências negativas de
como
vão para
. Uma técnica padrão é fatorar o fator comum de maior ordem (no sentido de ser o mesmo em ambos) e cancelar, reduzindo a expressão a termos em
que vão a zero. Vou aplicar isso fatorando
em numerador e denominador.
Passo 3
Fatorando
em numerador e denominador:
Como
é comum e não é zero para
, pode-se cancelar:
Agora use que
quando
. Substituindo o limite de
por
(funções polinomiais/racionais são contínuas onde definidas), obtemos
Passo 4
Resumo prático (o truque para a prova): sempre que aparecerem potências negativas, fatorar pela menor (mais negativa) potência comum ou dividir por aquela de maior grau, cancelar e ver que os termos com
desaparecem no limite. Alternativa equivalente: dividir numerador e denominador por
ou fazer a substituição
e avaliar em
.