Calcule o limite ou explique porque ele não existe.
\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{3 t^{-2}+7 t^{-3}}{7 t^{-2}+5 t^{-3}}\,,

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite quando t tende a infinito:
\lim_{t \rightarrow \infty} \frac{3 t^{-2}+7 t^{-3}}{7 t^{-2}+5 t^{-3}}.
Informações dadas:
  • O numerador é 3 t^{-2}+7 t^{-3}.
  • O denominador é 7 t^{-2}+5 t^{-3}.
  • Quer-se o limite quando t\to\infty.

Passo 2

Ideia útil (explicada): quando t\to\infty, as potências negativas de t como t^{-1},t^{-2},t^{-3} vão para 0. Uma técnica padrão é fatorar o fator comum de maior ordem (no sentido de ser o mesmo em ambos) e cancelar, reduzindo a expressão a termos em t^{-1} que vão a zero. Vou aplicar isso fatorando t^{-2} em numerador e denominador.

Passo 3

Fatorando t^{-2} em numerador e denominador:
\frac{3 t^{-2}+7 t^{-3}}{7 t^{-2}+5 t^{-3}} = \frac{t^{-2}\bigl(3 + 7 t^{-1}\bigr)}{t^{-2}\bigl(7 + 5 t^{-1}\bigr)}.
Como t^{-2} é comum e não é zero para t\neq0, pode-se cancelar:
\frac{t^{-2}\bigl(3 + 7 t^{-1}\bigr)}{t^{-2}\bigl(7 + 5 t^{-1}\bigr)} = \frac{3 + 7 t^{-1}}{7 + 5 t^{-1}}.
Agora use que t^{-1}\to 0 quando t\to\infty. Substituindo o limite de t^{-1} por 0 (funções polinomiais/racionais são contínuas onde definidas), obtemos
\lim_{t\to\infty}\frac{3 + 7 t^{-1}}{7 + 5 t^{-1}} = \frac{3 + 7\cdot 0}{7 + 5\cdot 0} = \frac{3}{7}.

Passo 4

Resumo prático (o truque para a prova): sempre que aparecerem potências negativas, fatorar pela menor (mais negativa) potência comum ou dividir por aquela de maior grau, cancelar e ver que os termos com t^{-1} desaparecem no limite. Alternativa equivalente: dividir numerador e denominador por t^{-2} ou fazer a substituição u=1/t e avaliar em u\to 0.

Resposta

\dfrac{3}{7}

Exercícios relacionados