Calcule os seguintes limites. Caso eles não existam, explique a razão.
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h^{2}}{\operatorname{sen}^{2}(3 h)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{h\to 0}\frac{h^{2}}{\operatorname{sen}^{2}(3h)}.
Informações dadas:
  • A variável é h e a aproximação é h\to 0.
  • A expressão é \dfrac{h^{2}}{\operatorname{sen}^{2}(3h)}.
  • Note que \operatorname{sen}(3h)=0 em certos pontos (por exemplo h=0), então é importante verificar o comportamento quando h se aproxima de 0 sem ser exatamente 0.

Passo 2

Fórmula-chave (resultado padrão que vamos usar): \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Explicação didática curta dessa fórmula: para x muito pequeno, \sin x é muito bem aproximado por x. Uma forma rápida de ver isso é pela expansão em série de Taylor:
\sin x = x - \frac{x^{3}}{6} + \text{termos de ordem superior},
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\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^{2}}{6} + \cdots \xrightarrow[x\to 0]{} 1.
Também pode ser demonstrado por desigualdades geométricas (teorema do aperto). O ponto importante: \dfrac{\sin x}{x} tende a 1 quando x\to 0.

Passo 3

Vamos transformar a expressão de forma a aplicar esse resultado. Primeiro escrevemos \sin^{2}(3h) destacando um fator h^{2}:
\sin^{2}(3h) = \bigl(\sin(3h)\bigr)^{2} = \bigl(3h\bigr)^{2}\left(\frac{\sin(3h)}{3h}\right)^{2} = 9h^{2}\left(\frac{\sin(3h)}{3h}\right)^{2}.

Passo 4

Substituindo essa identidade na expressão do limite obtemos
\frac{h^{2}}{\sin^{2}(3h)} = \frac{h^{2}}{9h^{2}\left(\dfrac{\sin(3h)}{3h}\right)^{2}} = \frac{1}{9\left(\dfrac{\sin(3h)}{3h}\right)^{2}}.

Passo 5

Agora usamos o resultado do Passo 2 com x=3h. Como h\to 0 implica 3h\to 0, tem-se
\frac{\sin(3h)}{3h} \xrightarrow[h\to 0]{} 1.
Pelo teorema do limite para funções compostas e pela continuidade das operações algébricas (potência, multiplicação, inverso), segue que
\frac{1}{9\left(\dfrac{\sin(3h)}{3h}\right)^{2}} \xrightarrow[h\to 0]{} \frac{1}{9\cdot 1^{2}}.

Passo 6

Observação sobre existência: embora \sin(3h)=0 em valores isolados (por exemplo h=0), ao calcular o limite estamos considerando valores de h que se aproximam de 0 sem necessariamente ser exatamente 0. Para h suficientemente próximo de 0 (mas diferente de 0), o denominador não anula a fração de forma que o comportamento limite acima é válido. Portanto o limite existe.

Resposta

\dfrac{1}{9}

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