Determine os seguintes limites, eliminando as indeterminações quando necessário: \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{\sqrt{x}-1}
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-1}{\sqrt{x}-1},
e orienta a “eliminar as indeterminações quando necessário”. As informações relevantes fornecidas são:
A função que aparece no limite é f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{\sqrt{x}-1}.
O ponto em que a variável se aproxima é x\to 1.
Não há outras condições ou imagens. O objetivo é encontrar o valor do limite e, se houver uma indeterminação ao substituir x=1, devemos manipulá-la algebraicamente.
Passo 2
Tentar substituir diretamente x=1 para ver se há indeterminação.
Calcular o numerador em x=1: 1^{2}-1=0.
Calcular o denominador em x=1: \sqrt{1}-1=0.
Portanto a forma obtida por substituição é 0/0, que é uma indeterminação. Quando isso acontece, precisamos manipular a expressão (fatorar, fazer substituição, racionalizar etc.) antes de tomar o limite.
Passo 3
Vamos escolher uma manipulação adequada. Uma ideia útil é notar que o denominador é \sqrt{x}-1, então trabalhar com a variável \sqrt{x} facilita o cancelamento. Fazemos a substituição auxiliar
t=\sqrt{x}.
Explicando por que isso é legítimo: quando x\to 1 com x\ge 0, tem-se t=\sqrt{x}\to 1. Perto de x=1 a transformação x=t^{2} é contínua e bijetora para t positivo, então podemos reescrever o limite em termos de t sem alterar seu valor.
Passo 4
Reescrevendo a expressão com t:
x=t^{2}\quad\Rightarrow\quad x^{2}-1=t^{4}-1,
e o denominador fica \sqrt{x}-1=t-1. Assim o quociente é
\frac{x^{2}-1}{\sqrt{x}-1}=\frac{t^{4}-1}{t-1}.
Passo 5
Agora fatoramos t^{4}-1. Use a identidade de diferença de potências:
t^{4}-1=(t^{2}-1)(t^{2}+1).
E novamente fatorando t^{2}-1 como diferença de quadrados: