Determine os seguintes limites, eliminando as indeterminações quando necessário:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{\sqrt{x}-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-1}{\sqrt{x}-1},
e orienta a “eliminar as indeterminações quando necessário”. As informações relevantes fornecidas são:
  • A função que aparece no limite é f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{\sqrt{x}-1}.
  • O ponto em que a variável se aproxima é x\to 1.
  • Não há outras condições ou imagens. O objetivo é encontrar o valor do limite e, se houver uma indeterminação ao substituir x=1, devemos manipulá-la algebraicamente.

Passo 2

Tentar substituir diretamente x=1 para ver se há indeterminação.
Calcular o numerador em x=1: 1^{2}-1=0.
Calcular o denominador em x=1: \sqrt{1}-1=0.
Portanto a forma obtida por substituição é 0/0, que é uma indeterminação. Quando isso acontece, precisamos manipular a expressão (fatorar, fazer substituição, racionalizar etc.) antes de tomar o limite.

Passo 3

Vamos escolher uma manipulação adequada. Uma ideia útil é notar que o denominador é \sqrt{x}-1, então trabalhar com a variável \sqrt{x} facilita o cancelamento. Fazemos a substituição auxiliar
t=\sqrt{x}.
Explicando por que isso é legítimo: quando x\to 1 com x\ge 0, tem-se t=\sqrt{x}\to 1. Perto de x=1 a transformação x=t^{2} é contínua e bijetora para t positivo, então podemos reescrever o limite em termos de t sem alterar seu valor.

Passo 4

Reescrevendo a expressão com t:
x=t^{2}\quad\Rightarrow\quad x^{2}-1=t^{4}-1,
e o denominador fica \sqrt{x}-1=t-1. Assim o quociente é
\frac{x^{2}-1}{\sqrt{x}-1}=\frac{t^{4}-1}{t-1}.

Passo 5

Agora fatoramos t^{4}-1. Use a identidade de diferença de potências:
t^{4}-1=(t^{2}-1)(t^{2}+1).
E novamente fatorando t^{2}-1 como diferença de quadrados:
t^{2}-1=(t-1)(t+1).
Juntando,
t^{4}-1=(t-1)(t+1)(t^{2}+1).

Passo 6

Substituindo a fatoração no quociente:
\frac{t^{4}-1}{t-1}=\frac{(t-1)(t+1)(t^{2}+1)}{t-1}.
Como estamos calculando um limite, para t\neq 1 podemos cancelar o fator t-1, obtendo a função simplificada
(t+1)(t^{2}+1).
Essa é uma função polinomial em t, que é contínua em t=1, então podemos simplesmente avaliar o limite substituindo t=1.

Passo 7

Avaliar a expressão simplificada em t=1:
(t+1)(t^{2}+1)\big|_{t=1}=(1+1)\bigl(1^{2}+1\bigr)=2\cdot 2=4.
Lembre-se de que t=\sqrt{x} e que quando x\to 1 temos t\to 1, então este é o mesmo limite procurado.

Passo 8

Comentário rápido (opcional): outra maneira de ver sem fazer a substituição explícita é notar que, com a=\sqrt{x},
x^{2}-1=a^{4}-1=(a-1)(a^{3}+a^{2}+a+1),
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\frac{x^{2}-1}{\sqrt{x}-1}=\frac{(a-1)(a^{3}+a^{2}+a+1)}{a-1}=a^{3}+a^{2}+a+1,
e avaliando em a=1 também dá 1+1+1+1=4. É a mesma ideia de fatorar e cancelar.

Resposta

4

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