Determine os seguintes limites, eliminando as indeterminações quando necessário:
\lim _{x \rightarrow 5} \frac{x^{2}-25}{x^{2}-7 x+10}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to5}\frac{x^{2}-25}{x^{2}-7x+10}.
Informações fornecidas (úteis para começar):
  • A função no numerador é x^{2}-25.
  • A função no denominador é x^{2}-7x+10.
  • Se fizermos a substituição direta x=5 obtemos no numerador 5^{2}-25=25-25=0 e no denominador 5^{2}-7\cdot5+10=25-35+10=0. Portanto a forma obtida por substituição direta é a indeterminação \frac{0}{0}.

Passo 2

O que significa a indeterminação \frac{0}{0} e o que fazer.
  • Quando ao substituir x por um valor chegamos em \frac{0}{0}, não podemos concluir o valor do limite diretamente. Isso significa apenas que tanto numerador quanto denominador se anulam naquele ponto.
  • Estratégia básica e muito usada: simplificar algebricamente a expressão (por exemplo, fatorando e cancelando fatores comuns) para obter uma expressão equivalente para x próximo de 5 (mas não necessariamente igual a 5). Depois de simplificar, se a nova expressão for contínua em x=5, o limite será o valor obtido por substituição nessa nova expressão.
  • Lembrete útil de cálculo algébrico: só se pode cancelar um fator comum quando x é diferente do valor que zera esse fator; isso é compatível com limite porque o limite envolve valores próximos de 5, não necessariamente o próprio 5.

Passo 3

Fatorar o numerador. Usamos a identidade de diferença de quadrados:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aqui a=x e b=5, então
x^{2}-25=(x-5)(x+5).

Passo 4

Fatorar o denominador. Procuramos dois números que multipliquem para 10 e somem para -7. Esses números são -5 e -2. Portanto
x^{2}-7x+10=(x-5)(x-2).
(Verificação rápida: (x-5)(x-2)=x^{2}-2x-5x+10=x^{2}-7x+10.)

Passo 5

Reescrever a fração com as fatorações encontradas:
\frac{x^{2}-25}{x^{2}-7x+10}=\frac{(x-5)(x+5)}{(x-5)(x-2)}.
Para x\neq5 o fator (x-5) aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelar:
\frac{(x-5)(x+5)}{(x-5)(x-2)}=\frac{x+5}{x-2}\qquad\text{(para }x\neq5\text{)}.
Observação: essa simplificação é válida para valores de x próximos de 5 (mas não para x=5 exatamente). Como o limite considera aproximações de 5, essa igualdade nos permite calcular o limite usando a função simplificada.

Passo 6

Agora que simplificamos, analisamos a função simplificada. A função
g(x)=\frac{x+5}{x-2}
é contínua em x=5 porque o denominador em x=5 vale 5-2=3\neq0. Para funções contínuas, o limite quando x\to a é simplesmente o valor da função em a. Portanto:
\lim_{x\to5}\frac{x^{2}-25}{x^{2}-7x+10} = \lim_{x\to5}\frac{x+5}{x-2} = \frac{5+5}{5-2}.
Calculemos:
5+5=10,\qquad 5-2=3,
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\frac{5+5}{5-2}=\frac{10}{3}.

Passo 7

Checagem alternativa (opcional): aplicação do critério de L’Hôpital como verificação.
  • A forma original era \frac{0}{0}, então poderíamos aplicar a regra de L’Hôpital (derivar numerador e denominador e recalcular o limite), desde que as derivadas existam numa vizinhança de 5.
  • Derivadas: \dfrac{d}{dx}(x^{2}-25)=2x e \dfrac{d}{dx}(x^{2}-7x+10)=2x-7.
  • Avaliando em x=5:
\frac{2\cdot5}{2\cdot5-7}=\frac{10}{10-7}=\frac{10}{3},
que confirma o resultado encontrado pela fatoração.

Resposta

\dfrac{10}{3}

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