Determine os seguintes limites, eliminando as indeterminações quando necessário:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações fornecidas (úteis para começar):
- A função no numerador é
. - A função no denominador é
. - Se fizermos a substituição direta
obtemos no numerador e no denominador . Portanto a forma obtida por substituição direta é a indeterminação .
Passo 2
O que significa a indeterminação
e o que fazer.
- Quando ao substituir
por um valor chegamos em , não podemos concluir o valor do limite diretamente. Isso significa apenas que tanto numerador quanto denominador se anulam naquele ponto. - Estratégia básica e muito usada: simplificar algebricamente a expressão (por exemplo, fatorando e cancelando fatores comuns) para obter uma expressão equivalente para
próximo de (mas não necessariamente igual a ). Depois de simplificar, se a nova expressão for contínua em , o limite será o valor obtido por substituição nessa nova expressão. - Lembrete útil de cálculo algébrico: só se pode cancelar um fator comum quando
é diferente do valor que zera esse fator; isso é compatível com limite porque o limite envolve valores próximos de , não necessariamente o próprio .
Passo 3
Fatorar o numerador. Usamos a identidade de diferença de quadrados:
Aqui
e
, então
Passo 4
Fatorar o denominador. Procuramos dois números que multipliquem para
e somem para
. Esses números são
e
. Portanto
(Verificação rápida:
.)
Passo 5
Reescrever a fração com as fatorações encontradas:
Para
o fator
aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelar:
Observação: essa simplificação é válida para valores de
próximos de
(mas não para
exatamente). Como o limite considera aproximações de
, essa igualdade nos permite calcular o limite usando a função simplificada.
Passo 6
Agora que simplificamos, analisamos a função simplificada. A função
é contínua em
porque o denominador em
vale
. Para funções contínuas, o limite quando
é simplesmente o valor da função em
. Portanto:
Calculemos:
logo
Passo 7
Checagem alternativa (opcional): aplicação do critério de L’Hôpital como verificação.
- A forma original era
, então poderíamos aplicar a regra de L’Hôpital (derivar numerador e denominador e recalcular o limite), desde que as derivadas existam numa vizinhança de . - Derivadas:
e . - Avaliando em
:
que confirma o resultado encontrado pela fatoração.