Determinar e graficar o domínio das funções:
f(x, y)=\frac{x-3 y}{x+3 y}

Passo 1

O enunciado dá a função f de duas variáveis
f(x,y)=\frac{x-3y}{x+3y}
e pede duas coisas: (1) determinar o domínio (ou seja, o conjunto de todos os pares (x,y) para os quais a expressão faz sentido) e (2) desenhar/representar graficamente esse domínio no plano. Informações relevantes: a fórmula tem uma divisão, então devemos garantir que o denominador não seja zero.

Passo 2

Conceito-chave (passo-a-passo): o domínio de uma função real de duas variáveis é o conjunto de pontos (x,y)\in\mathbb{R}^2 em que a expressão que define a função está bem definida. Regras práticas que aparecem com frequência:
  • Não se pode dividir por zero: denominador deve ser diferente de zero.
  • Não se pode tirar raiz de índice par de número negativo (a menos que se trabalhe com números complexos).
  • Para logaritmos, o argumento deve ser positivo.
    Aqui só precisamos aplicar a regra "denominador \neq 0".

Passo 3

Escrevendo a condição de existência: a função existe quando o denominador é diferente de zero, isto é,
x+3y \neq 0.
Isolando y fica
3y \neq -x\quad\Rightarrow\quad y \neq -\frac{x}{3}.
Portanto, todos os pontos do plano cuja coordenada y não seja -\dfrac{x}{3} pertencem ao domínio.

Passo 4

Descrição geométrica do conjunto excluído e do domínio: a equação
x+3y=0
é uma reta no plano que passa pela origem com coeficiente angular -\tfrac{1}{3} (ou seja, slope -\tfrac{1}{3}). Essa reta é exatamente o conjunto de pontos onde a função não está definida. Logo o domínio é o plano inteiro com essa reta removida. Em notação de conjunto:
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+3y\neq 0\} = \mathbb{R}^2\setminus\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+3y=0\}.
Uma outra forma útil de ver o domínio é como união de duas metades do plano separadas pela reta:
\{(x,y)\mid x+3y>0\}\\ \cup\\ \{(x,y)\mid x+3y<0\}.

Passo 5

Como esboçar o gráfico (passo-a-passo para fazer na prova):
  • Desenhe os eixos x e y.
  • Trace a reta x+3y=0. Para plotar rapidamente: quando x=3 tem y=-1; quando x=-3 tem y=1; a reta passa pela origem e tem declive -\tfrac{1}{3}.
  • Marque essa reta como “excluída” — por exemplo, trace-a com linha tracejada ou coloque pequenos círculos abertos ao longo dela para indicar que os pontos sobre a reta não pertencem ao domínio.
  • O domínio é todo o resto do plano (ambas as regiões de cada lado da reta), ou seja, todas as coordenadas exceto as da própria reta.

Passo 6

Verificações rápidas (para entender melhor):
  • Escolha um ponto fora da reta, por exemplo (1,0). Então
f(1,0)=\frac{1-3\cdot 0}{1+3\cdot 0}=\frac{1}{1}=1,
logo o ponto pertence ao domínio e a função tem valor 1 ali.
  • Escolha um ponto sobre a reta, por exemplo (3,-1). Então o denominador é
3+3(-1)=3-3=0,
portanto f(3,-1) não está definido — confirma que a reta é excluída.
Observação final útil: a função é contínua em todo ponto do domínio (porque é quociente de funções lineares com denominador não nulo).

Resposta

\displaystyle \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+3y\neq 0\}

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