Determinar e graficar o domínio das funções:
f(x, y)=\frac{x-3 y}{x+3 y}
f(x, y)=\frac{x-3 y}{x+3 y}
Passo 1
O enunciado dá a função
de duas variáveis
e pede duas coisas: (1) determinar o domínio (ou seja, o conjunto de todos os pares
para os quais a expressão faz sentido) e (2) desenhar/representar graficamente esse domínio no plano. Informações relevantes: a fórmula tem uma divisão, então devemos garantir que o denominador não seja zero.
Passo 2
Conceito-chave (passo-a-passo): o domínio de uma função real de duas variáveis é o conjunto de pontos
em que a expressão que define a função está bem definida. Regras práticas que aparecem com frequência:
- Não se pode dividir por zero: denominador deve ser diferente de zero.
- Não se pode tirar raiz de índice par de número negativo (a menos que se trabalhe com números complexos).
- Para logaritmos, o argumento deve ser positivo.
Aqui só precisamos aplicar a regra "denominador".
Passo 3
Escrevendo a condição de existência: a função existe quando o denominador é diferente de zero, isto é,
Isolando
fica
Portanto, todos os pontos do plano cuja coordenada
não seja
pertencem ao domínio.
Passo 4
Descrição geométrica do conjunto excluído e do domínio: a equação
é uma reta no plano que passa pela origem com coeficiente angular
(ou seja, slope
). Essa reta é exatamente o conjunto de pontos onde a função não está definida. Logo o domínio é o plano inteiro com essa reta removida. Em notação de conjunto:
Uma outra forma útil de ver o domínio é como união de duas metades do plano separadas pela reta:
Passo 5
Como esboçar o gráfico (passo-a-passo para fazer na prova):
- Desenhe os eixos
e . - Trace a reta
. Para plotar rapidamente: quando tem ; quando tem ; a reta passa pela origem e tem declive . - Marque essa reta como “excluída” — por exemplo, trace-a com linha tracejada ou coloque pequenos círculos abertos ao longo dela para indicar que os pontos sobre a reta não pertencem ao domínio.
- O domínio é todo o resto do plano (ambas as regiões de cada lado da reta), ou seja, todas as coordenadas exceto as da própria reta.
Passo 6
Verificações rápidas (para entender melhor):
- Escolha um ponto fora da reta, por exemplo
. Então
logo o ponto pertence ao domínio e a função tem valor
ali.
- Escolha um ponto sobre a reta, por exemplo
. Então o denominador é
portanto
não está definido — confirma que a reta é excluída.
Observação final útil: a função é contínua em todo ponto do domínio (porque é quociente de funções lineares com denominador não nulo).
Observação final útil: a função é contínua em todo ponto do domínio (porque é quociente de funções lineares com denominador não nulo).