Calcule o limite no infinito:
lim x -infty(x+raizx^2+2 x).

Passo 1

O enunciado pede
limxto -inftyl(x+raizx^2+2xr).
Isso é uma indeterminação do tipo “ -infty+infty”. Para resolver, vamos reescrever a raiz de modo a eliminar essa indeterminação.

Passo 2

Observe que
raizx^2+2x =raizx^2l(1+2xr) =|x|raiz1+2x
Como xto -infty, temos |x|=-x. Logo
raizx^2+2x =-x,raiz1+2x
Substituindo em x+raizx^2+2x obtém-se
x+raizx^2+2x =x - xraiz1+2x =xl(1-raiz1+tfrac2xr)

Passo 3

Para avaliar
xl(1-raiz1+tfrac2xr), racionalizamos o parêntese:
1-raiz1+tfrac2x =l(1-raiz1+tfrac2xr)l(1+raiz1+tfrac2xr) 1+raiz1+tfrac2x =1-l(1+tfrac2xr)1+raiz1+tfrac2x =-tfrac2x1+raiz1+tfrac2x
Multiplicando por x vem
xl(1-raiz1+tfrac2xr) =-21+raiz1+tfrac2x

Passo 4

Agora basta passar ao limite: quando xto -infty, tfrac2xto0 e raiz1+tfrac2xto1. Então
-21+raiz1+tfrac2x ;longrightarrow; -21+1 =-1

Resposta

-1

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