Soma de uma série telescópica com radicais e uma série fatorada:
sumn=1^infty(1raizn-1raizn+1)+sumn=1^infty (2 n)!(n!)^2 4^n
Determine se a soma total converge.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência de
sumn=1^inftyl(1raizn-1raizn+1r) ;+; sumn=1^infty(2n)!(n!)^24^n
O conteúdo envolvido é soma telescópica (para a primeira série) e análise assintótica de coeficiente binomial central (para a segunda).

Passo 2

Analisamos a série telescópica
S1 = sumn=1^inftyl(1raizn-1raizn+1r)
Se somarmos até N,
sumn=1^Nl(tfrac1raizn-tfrac1raizn+1r) =1-1raizN+1
Fazendo Ntoinfty, o último termo vai a zero, logo
S1=1

Passo 3

Agora olha a segunda série
S2 = sumn=1^inftyan, an = (2n)!(n!)^24^n
Usamos a fórmula assintótica do coeficiente binomial central, que diz
(2n)!(n!)^2sim 4^nraizpi n (ntoinfty)
Então
an = (2n)!(n!)^24^n sim 1raizpi n
Como 1raizpi n é equivalente a c,n^-1/2 com 1/2<=1, a série sum n^-1/2 diverge. Pelo critério da comparação assintótica, S2 diverge também.

Passo 4

A primeira soma converge (vale 1), mas a segunda diverge para +infty. Somando-as, a parte divergente domina.

Resposta

A soma total diverge.

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