Soma de uma série telescópica com radicais e uma série fatorada:
Determine se a soma total converge.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência de
O conteúdo envolvido é soma telescópica (para a primeira série) e análise assintótica de coeficiente binomial central (para a segunda).
Passo 2
Analisamos a série telescópica
Se somarmos até
,
Fazendo
, o último termo vai a zero, logo
Passo 3
Agora olha a segunda série
Usamos a fórmula assintótica do coeficiente binomial central, que diz
Então
Como
é equivalente a
com
, a série
diverge. Pelo critério da comparação assintótica,
diverge também.
Passo 4
A primeira soma converge (vale
), mas a segunda diverge para
. Somando-as, a parte divergente domina.
Resposta
A soma total diverge.