Considere a função linear f(x)=2 x+1 e de<a>0 um número dado. Verifique que, se
|x-1|<de<a, então |f(x)-f(1)|<2 de<a. |x-1|<de<a, então |f(x)-f(1)|<2 de<a.

Passo 1

O enunciado quer que a gente mostre que, para a função linear
f(x)=2x+1
e dado de<a>0, a condição lvert x-1rvert<de<a implica
lvert f(x)-f(1)rvert<2,de<a. Vamos usar cálculo direto de f(1) e manipular a diferença.

Passo 2

Calculamos primeiro
f(1)=2cdot1+1=3
Então
f(x)-f(1)=l(2x+1r)-3=2x-2=2,(x-1)

Passo 3

Tomando valor absoluto, achamos
lvert f(x)-f(1)rvert=lvert 2,(x-1)rvert=2,lvert x-1rvert
Como lvert x-1rvert<de<a, segue
lvert f(x)-f(1)rvert<2,de<a

Resposta

Portanto, de fato, se lvert x-1rvert<de<a então lvert f(x)-f(1)rvert<2de<a.

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