Calcule o limite justificando cada passagem com as propriedade dos limites que forem usadas.
lim x infty 2 x^2-75 x^2+x-3

Passo 1

O enunciado pede
limxtoinfty2x^2-75x^2+x-3
Estamos no tópico de limites de funções racionais quando xtoinfty. Para resolver, vamos usar as seguintes propriedades de limites:
  1. limxtoinfty[f(x)pm g(x)]=limxtoinftyf(x)pmlimxtoinftyg(x).
  2. limxtoinfty[f(x)cdot g(x)]=limxtoinftyf(x)cdotlimxtoinftyg(x).
  3. limxtoinftyf(x)g(x)=limxtoinftyf(x)limxtoinftyg(x), se limxtoinftyg(x)neq0.
  4. limxtoinfty1x^n=0 para n>0.

Passo 2

Dividimos numerador e denominador pela maior potência de x, que é x^2. Assim,
2x^2-75x^2+x-3 =2x^2x^2-7x^2 5x^2x^2+xx^2-3x^2 =2-7x^25+1x-3x^2
Aqui usamos a propriedade de limite do quociente em que dividimos ambos por x^2neq0 para x grande.

Passo 3

Analisamos cada termo que depende de x. Como limxtoinfty1x=0 e limxtoinfty1x^2=0, temos
limxtoinfty7x^2 =7cdotlimxtoinfty1x^2 =7cdot0 =0, limxtoinfty1x=0, limxtoinfty3x^2=0

Passo 4

Aplicando a propriedade da soma em cada parte do numerador e denominador:
limxtoinftyl(2-tfrac7x^2r) =2-0=2, limxtoinftyl(5+tfrac1x-tfrac3x^2r) =5+0-0=5

Passo 5

Por fim, usamos a propriedade do quociente:
limxtoinfty2-7x^25+1x-3x^2 =limxtoinftyl(2-tfrac7x^2r) limxtoinftyl(5+tfrac1x-tfrac3x^2r) =25

Resposta

25

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