Verifique se as EDOs de
ordem abaixo são exatas. Caso não sejam, encontre o fator integrante para torná-las exatas e resolva-as.
Passo 1
Temos a EDO de primeira ordem
Queremos verificar se ela é exata, isto é, se existe uma função
tal que
Se não for exata, vamos buscar um fator integrante
(função só de
) que torne a equação exata.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais para testar a exatidão:
Como
a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
tal que, multiplicando a EDO por
, a nova equação seja exata. A condição de exatidão após multiplicar por
é
Isto leva a
Como
, obtemos
Cancelando
(não nula em geral),
Esta é uma equação diferencial separável em
:
Podemos escolher
, logo um fator integrante conveniente é
Passo 4
Multiplicamos a EDO original por
:
Definimos
Verificamos agora que a equação é exata:
Passo 5
Como é exata, existe
tal que
Integramos em
:
Agora impomos
Daí
, logo
constante.
Resposta
A solução geral é dada implicitamente por
onde
é constante de integração.