Verifique se as EDOs de 1^0 ordem abaixo são exatas. Caso não sejam, encontre o fator integrante para torná-las exatas e resolva-as.
cos (x) d x+(1+2y) sen(x) d y=0

Passo 1

Temos a EDO de primeira ordem
cos(x),dx + l(1+2yr)sin(x),dy = 0
Queremos verificar se ela é exata, isto é, se existe uma função psi(x,y) tal que
partial psipartial x = M(x,y) = cos(x), partial psipartial y = N(x,y) = l(1+2yr)sin(x)
Se não for exata, vamos buscar um fator integrante mu (função só de y) que torne a equação exata.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais para testar a exatidão:
partial Mpartial y = partialpartial yl[cos(x)r] = 0, partial Npartial x = partialpartial xl[l(1+tfrac2yr)sin(x)r] = l(1+2yr)cos(x)
Como
partial Mpartial y = 0 neq l(1+tfrac2yr)cos(x) = partial Npartial x,
a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu(y) tal que, multiplicando a EDO por mu(y), a nova equação seja exata. A condição de exatidão após multiplicar por mu é
partialpartial yl[mu(y),M(x,y)r] = partialpartial xl[mu(y),N(x,y)r]
Isto leva a
mu'(y),M + mu(y),partial Mpartial y = mu(y),partial Npartial x
Como partial M/partial y=0, obtemos
mu'(y),cos(x) = mu(y),l(1+tfrac2yr)cos(x)
Cancelando cos(x) (não nula em geral),
dmudy = mul(1 + 2yr)
Esta é uma equação diferencial separável em mu:
dmumu = l(1 + 2yr),dy ;Longrightarrow; lnmu = y + 2ln y + C ;Longrightarrow; mu(y) = C1,y^2,e^y
Podemos escolher C1=1, logo um fator integrante conveniente é
mu(y) = y^2,e^y

Passo 4

Multiplicamos a EDO original por mu(y):
y^2 e^ycos(x),dx + y^2 e^yl(1+tfrac2yr)sin(x),dy =0
Definimos
widetilde M = y^2 e^ycos(x), widetilde N = y^2 e^yl(1+tfrac2yr)sin(x)
Verificamos agora que a equação é exata:
partial widetilde Mpartial y = partialpartial yl[y^2 e^ycos(x)r] = e^ycos(x),(y^2 + 2y),
partial widetilde Npartial x = partialpartial xl[e^ysin(x),(y^2+2y)r] = e^ycos(x),(y^2 + 2y)

Passo 5

Como é exata, existe psi(x,y) tal que
partial psipartial x = widetilde M = y^2 e^ycos(x)
Integramos em x:
psi(x,y) = integral y^2 e^ycos(x),dx = y^2 e^ysin(x) + h(y)
Agora impomos
partial psipartial y = partialpartial yl[y^2 e^ysin(x)r] + h'(y) = e^ysin(x),(y^2+2y) + h'(y) stackrel!=widetilde N = e^ysin(x),(y^2+2y)
Daí h'(y)=0, logo h(y)= constante.

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
y^2,e^y,sin(x) = C,
onde C é constante de integração.

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