Encontrar a área da região limitada do plano xOy, delimitada pelos gráficos das funções abaixo:
f(x)=4 x^2-x^4, x=-2, x=2 e y=0.

Passo 1

O enunciado pede a área da região no plano xOy limitada pelo gráfico de
y = f(x) = 4x^2 - x^4,
pelas retas verticais x=-2 e x=2 e pelo eixo y=0.
O conteúdo envolvido é cálculo de área sob a curva, usando integrais definidas: quando uma função f(x) é não-negativa em [a,b], a área entre o gráfico de f, as retas x=a,,x=b e o eixo y=0 é
integrala^b f(x),dx

Passo 2

Precisamos verificar onde f(x) >= 0. Resolvendo
4x^2 - x^4 >= 0
fatoramos
x^2(4 - x^2) >= 0
que ocorre justamente para -2 <= x <= 2. Isso coincide com os limites dados.

Passo 3

A área procurada é
integral-2^2 l(4x^2 - x^4r),dx

Passo 4

Como 4x^2-x^4 é uma função par, podemos usar simetria:
integral-2^2 l(4x^2-x^4r),dx = 2 integral0^2 l(4x^2-x^4r),dx

Passo 5

Calculamos a integral em [0,2]:
integral0^2 l(4x^2-x^4r),dx = [4x^33 - x^55]0^2 = 323 - 325 = 6415
Multiplicando por 2, obtemos
2 times 6415 = 12815

Resposta

12815

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