Encontrar a área da região limitada do plano xOy, delimitada pelos gráficos das funções abaixo:
f(x)=x^3-4 x, x=-2, x=1 e y=0.

Passo 1

O enunciado pede a área da região do plano limitada por
,y=f(x)=x^3-4x, pelas retas verticais x=-2 e x=1 e pela reta horizontal y=0.
O conteúdo principal é calcular integrais definidas e analisar onde a curva está acima ou abaixo do eixo Ox.

Passo 2

Para usar integrais de área precisamos saber onde f(x) muda de sinal.
Resolvendo
f(x)=x^3-4x = x(x^2-4)=0
vemos as raízes ,x=-2,,0,,2. No intervalo [-2,1] ocorrem as mudanças em x=-2 e x=0.
Testando um ponto em (-2,0), por exemplo x=-1, temos f(-1)=(-1)^3-4(-1)=3>0.
Para xin(0,1), por exemplo x=1, f(1)=1-4=-3<0.

Passo 3

A área total é
integral-2^1l|f(x)r|,dx =integral-2^0f(x),dx ;+;integral0^1l(-f(x)r),dx
pois em [-2,0] temos f(x)>=0 e em [0,1] temos f(x)<=0.

Passo 4

Calculamos a primitiva de f:
F(x)=integral (x^3-4x),dx = x^44-2x^2
Então
integral-2^0f(x),dx =F(0)-F(-2) =l(0-0r)-l(tfrac(-2)^44-2cdot(-2)^2r) =0 - (4-8)=4,
integral0^1(-f(x)),dx =-l[F(1)-F(0)r] =-l(l(tfrac1^44-2cdot1^2r)-0r) =-l(tfrac14-2r) =tfrac74

Passo 5

Somando as duas áreas temos
4 + tfrac74 = tfrac164 + tfrac74 = tfrac234

Resposta

A área da região é tfrac234.

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