Calcule o limite justificando cada passagem com as propriedade dos limites que forem usadas.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^{2}-x+4}{2 x^{2}+5 x-8}\

Passo 1

O problema pede
\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}-x+4}{2x^{2}+5x-8}.
O conteúdo é limite de função racional em \infty. Vamos usar as propriedades de soma, produto e quociente de limites, além de fatorar o termo de maior grau.

Passo 2

Fatoramos x^{2} em numerador e denominador, usando que qualquer polinômio pode ser escrito extraindo o maior grau:
\frac{3x^{2}-x+4}{2x^{2}+5x-8} = \frac{x^{2}\bigl(3 - \tfrac{1}{x} + \tfrac{4}{x^{2}}\bigr)}{x^{2}\bigl(2 + \tfrac{5}{x} - \tfrac{8}{x^{2}}\bigr)}.

Passo 3

Para x\neq0 cancelamos x^{2}, usando a propriedade do quociente de produtos:
\frac{3 - \tfrac{1}{x} + \tfrac{4}{x^{2}}}{2 + \tfrac{5}{x} - \tfrac{8}{x^{2}}}.

Passo 4

Aplicamos agora as propriedades de soma de limites e de limites de funções elementares:
\lim_{x\to\infty}\frac{3 - \tfrac{1}{x} + \tfrac{4}{x^{2}}}{2 + \tfrac{5}{x} - \tfrac{8}{x^{2}}} = \frac{\lim_{x\to\infty}\bigl(3 - \tfrac{1}{x} + \tfrac{4}{x^{2}}\bigr)}{\lim_{x\to\infty}\bigl(2 + \tfrac{5}{x} - \tfrac{8}{x^{2}}\bigr)},
onde
\lim_{x\to\infty}\tfrac{1}{x}=0, \quad \lim_{x\to\infty}\tfrac{1}{x^{2}}=0.
Logo
\lim_{x\to\infty}\bigl(3 - \tfrac{1}{x} + \tfrac{4}{x^{2}}\bigr)=3, \quad \lim_{x\to\infty}\bigl(2 + \tfrac{5}{x} - \tfrac{8}{x^{2}}\bigr)=2.

Passo 5

Por fim, usando a propriedade do quociente de limites (denominador não nulo), obtemos
\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}-x+4}{2x^{2}+5x-8} = \frac{3}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}

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