Questão 2. (6pts) Encontre \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} da função f(x, y)=y^{3} x^{4} e^{7 y x}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada mista
\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}
da função
f(x,y)=y^3\,x^4\,e^{7xy}.
Para isso vamos usar derivadas parciais, aplicando produto e cadeia.

Passo 2

Primeiro calculamos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}.
Como y é constante,
f(x,y)=y^3\bigl(x^4e^{7xy}\bigr),
então, pela regra do produto e da cadeia,
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^4e^{7xy}\bigr) =4x^3e^{7xy}+x^4\cdot7y\,e^{7xy} =e^{7xy}\bigl(4x^3+7yx^4\bigr).
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\frac{\partial f}{\partial x} =y^3\,e^{7xy}\bigl(4x^3+7yx^4\bigr).

Passo 3

Agora derivamos em relação a y:
\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl[y^3e^{7xy}(4x^3+7yx^4)\Bigr].
Para simplificar, escrevemos
y^3(4x^3+7x^4y)=4x^3y^3+7x^4y^4,
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\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl[e^{7xy}(4x^3y^3+7x^4y^4)\bigr].
Aplicando produto e cadeia:
\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial y}\bigl[e^{7xy}A(y)\bigr] &=7x\,e^{7xy}\,A(y)+e^{7xy}\,A'(y),\\\ A(y)&=4x^3y^3+7x^4y^4,\quad A'(y)=12x^3y^2+28x^4y^3. \end{aligned}
Substituindo,
\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} =e^{7xy}\bigl[7x(4x^3y^3+7x^4y^4)+(12x^3y^2+28x^4y^3)\bigr].
Fazendo as somas dentro do colchete:
7x\cdot4x^3y^3=28x^4y^3,\quad 7x\cdot7x^4y^4=49x^5y^4,
então
\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} =e^{7xy}\bigl(12x^3y^2+56x^4y^3+49x^5y^4\bigr).

Resposta

\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} =e^{7xy}\bigl(12x^3y^2+56x^4y^3+49x^5y^4\bigr).

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