Questão 3. (6pts) Usando a Regra da Cadeia para funções de várías variáveís, ache \frac{d f}{d t} como função de t da função: f(x, y)=x^{2} \operatorname{sen}(y)+y^{3} \cos (x), \quad x=\ln (t) e y=e^{2 t}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada \frac{df}{dt} de
f(x,y)=x^{2}\sin(y)+y^{3}\cos(x),
onde as variáveis dependem de t por x=\ln(t) e y=e^{2t}.
O conteúdo envolvido é a Regra da Cadeia para funções de múltiplas variáveis.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f em relação a x e y.
Pelo cálculo direto:
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}\sin(y)+y^{3}\cos(x)\bigr) =2x\sin(y)\;-\;y^{3}\sin(x),
f_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}\sin(y)+y^{3}\cos(x)\bigr) =x^{2}\cos(y)\;+\;3y^{2}\cos(x).

Passo 3

Calcular as derivadas de x e y em relação a t:
\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(\ln(t)\bigr) = \frac{1}{t},
\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(e^{2t}\bigr) = 2e^{2t}.

Passo 4

Aplicar a Regra da Cadeia para obter
\frac{df}{dt} = f_x\,\frac{dx}{dt} \;+\; f_y\,\frac{dy}{dt}.

Passo 5

Substituir f_x, f_y, \tfrac{dx}{dt} e \tfrac{dy}{dt} e depois x=\ln(t), y=e^{2t}:
\frac{df}{dt} =\bigl(2x\sin(y)-y^{3}\sin(x)\bigr)\,\frac{1}{t} \;+\;\bigl(x^{2}\cos(y)+3y^{2}\cos(x)\bigr)\,(2e^{2t}).
Agora x=\ln(t) e y=e^{2t}, logo
\frac{df}{dt} =\frac{2\ln(t)\,\sin\bigl(e^{2t}\bigr)\;-\;e^{6t}\,\sin\bigl(\ln(t)\bigr)}{t} \;+\;2e^{2t}\Bigl((\ln(t))^{2}\cos\bigl(e^{2t}\bigr)+3e^{4t}\cos\bigl(\ln(t)\bigr)\Bigr).

Resposta

\frac{df}{dt} =\frac{2\ln(t)\,\sin\bigl(e^{2t}\bigr)-e^{6t}\,\sin\bigl(\ln(t)\bigr)}{t} +2e^{2t}\Bigl((\ln(t))^{2}\cos\bigl(e^{2t}\bigr)+3e^{4t}\cos\bigl(\ln(t)\bigr)\Bigr).

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