Questão 1. (6pts) Encontre \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} da função f(x, y)=\ln \left(x^{2} y \operatorname{sen}\left(y^{3}\right)\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\ln\bigl(x^{2}y\sin(y^{3})\bigr)
e pede as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y}. Vamos usar a propriedade dos logaritmos para simplificar e, em seguida, aplicar derivação de funções compostas (chain rule).

Passo 2

Usando
\ln(ab)=\ln a+\ln b
podemos escrever
f(x,y)=\ln(x^{2})+\ln(y)+\ln\bigl(\sin(y^{3})\bigr)

Passo 3

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} só o primeiro termo depende de x. Como
\frac{d}{dx}\ln(x^{2})=\frac{2}{x},
temos
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2}{x}.

Passo 4

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} derivamos cada termo em y:
o segundo termo dá
\frac{d}{dy}\ln(y)=\frac{1}{y},
e o terceiro, por chain rule,
\frac{d}{dy}\ln\bigl(\sin(y^{3})\bigr) =\frac{1}{\sin(y^{3})}\cdot\cos(y^{3})\cdot3y^{2} =3y^{2}\cot\bigl(y^{3}\bigr).
Somando,
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{1}{y}+3y^{2}\cot\bigl(y^{3}\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2}{x}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{y}+3y^{2}\cot\bigl(y^{3}\bigr)

Exercícios relacionados