Resolva a equação diferencial
y^{(4)}-y^{\prime \prime \prime}-5 y^{\prime \prime}-y^{\prime}-6 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes
y^{(4)} - y^{\prime\prime\prime} - 5\,y^{\prime\prime} - y^{\prime} - 6\,y = 0.
O método clássico é assumir uma solução da forma y=e^{r t}, o que leva à equação característica.

Passo 2

Substituindo y=e^{r t} na equação diferencial, obtemos a equação polinomial
r^4 - r^3 - 5\,r^2 - r - 6 = 0.
Procuramos raízes inteiras testando r=\pm1,\pm2,\pm3,\pm6. Para r=3:
3^4 - 3^3 - 5\cdot3^2 - 3 - 6 =81 -27 -45 -3 -6 =0,
logo r=3 é uma raiz.

Passo 3

Fatoramos o polinômio dividindo por (r-3). Pelo método de divisão sintética com coeficientes (1,\,-1,\,-5,\,-1,\,-6) e r=3 obtemos como quociente
r^3 + 2\,r^2 + r + 2.
Assim
r^4 - r^3 - 5\,r^2 - r - 6 = (r-3)\bigl(r^3 + 2\,r^2 + r + 2\bigr).

Passo 4

Para o fator cúbico r^3+2r^2+r+2, agrupamos:
r^3+2r^2+r+2 = r^2(r+2)+1\,(r+2) = (r+2)(r^2+1).
As raízes desse fator são r=-2 e r^2+1=0, ou seja r=\pm i.

Passo 5

Reunindo todas as raízes temos r=3, r=-2, r=i e r=-i. A solução geral é
y(t) = C_{1}e^{3t} + C_{2}e^{-2t} + C_{3}\cos(t) + C_{4}\sin(t),
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t) = C_{1}e^{3t} + C_{2}e^{-2t} + C_{3}\cos(t) + C_{4}\sin(t).

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