Q. 6
i) Determine a equação característica de
ii) determine as duas soluções Reais da equação caracterísitca;
iii) a partir delas determine duas soluções básicas (linearmente independentes)
e
da equação diferencial;
iv) A partir da solução geral da equação diferencial
, onde
, determine aquela que verifica
e
.
i) Determine a equação característica de
iii) a partir delas determine duas soluções básicas (linearmente independentes)
iv) A partir da solução geral da equação diferencial
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes
O conteúdo aqui é resolver uma EDO homogênea usando o método da equação característica: assumimos
e obtemos uma equação algébrica para
.
Passo 2
Substituindo
na equação diferencial, temos
e portanto
Dividindo por
, obtemos a equação característica
Passo 3
Para encontrar as raízes reais, resolvemos
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Logo as duas raízes reais são
Passo 4
Como as raízes são distintas e reais, duas soluções fundamentais (linearmente independentes) são
Passo 5
A solução geral da EDO é
com constantes reais
Resolvendo o sistema
subtraindo a primeira da segunda vem
. Assim, a solução que satisfaz
e
é