Q. 6
i) Determine a equação característica de
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=0
ii) determine as duas soluções Reais da equação caracterísitca;
iii) a partir delas determine duas soluções básicas (linearmente independentes) y_{1}(x) e y_{2}(x) da equação diferencial;
iv) A partir da solução geral da equação diferencial y(x)=k_{1} y_{1}(x)+k_{2} y_{2}(x), onde k_{1}, k_{2} \in \mathbb{R}, determine aquela que verifica y(0)=0 e y^{\prime}(0)=1.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes
y'' - 3y' + 2y = 0
O conteúdo aqui é resolver uma EDO homogênea usando o método da equação característica: assumimos y = e^{r x} e obtemos uma equação algébrica para r.

Passo 2

Substituindo y = e^{r x} na equação diferencial, temos
y' = r e^{r x},\quad y'' = r^2 e^{r x}
e portanto
r^2 e^{r x} - 3r e^{r x} + 2 e^{r x} = 0.
Dividindo por e^{r x}\neq0, obtemos a equação característica
r^2 - 3r + 2 = 0.

Passo 3

Para encontrar as raízes reais, resolvemos
r^2 - 3r + 2 = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
r = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4\cdot1\cdot2}}{2\cdot1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}.
Logo as duas raízes reais são
r_1 = 1 \quad\text{e}\quad r_2 = 2.

Passo 4

Como as raízes são distintas e reais, duas soluções fundamentais (linearmente independentes) são
y_1(x) = e^{r_1 x} = e^{x}, \quad y_2(x) = e^{r_2 x} = e^{2x}.

Passo 5

A solução geral da EDO é
y(x) = k_{1}e^{x} + k_{2}e^{2x},
com constantes reais k_1\) e \(k_2\). Agora impomos as condições iniciais: \[y(0)=0 \implies k_1 + k_2 = 0,
y'(x) = k_1 e^{x} + 2k_2 e^{2x} \implies y'(0)=1 \implies k_1 + 2k_2 = 1.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} k_1 + k_2 = 0,\\\ k_1 + 2k_2 = 1, \end{cases}
subtraindo a primeira da segunda vem k_2 = 1\] e daí \(k_1 = -1. Assim, a solução que satisfaz y(0)=0 e y'(0)=1 é
y(x) = -e^{x} + e^{2x}.

Resposta

y(x) = -e^{x} + e^{2x}.

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