(2,0) Considere a função f: R R dada por f(x)=llx^2+k, & se x >= 0 sin xx, & se x<0. Determine o valor de k de modo que f seja contínua.
& f(0)=k, lim x 0^+ f(x)=lim x 0^+(x^2+k)=k & lim x 0^- f(x)=lim x 0^- sen xx=1 & f continua Leftrightarrow k=1

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= x^2+k, & x>=0, sin xx, & x<0,
e pede o valor de k para que f seja contínua em R. Como cada ramo é contínuo em seu domínio interno, só precisamos checar a continuidade em x=0.

Passo 2

Para x>=0, em particular em x=0, o valor de f é
f(0)=0^2+k=k

Passo 3

O limite pela direita quando xto0^+ é
limxto0^+f(x) =limxto0^+(x^2+k) =0+k =k

Passo 4

O limite pela esquerda quando xto0^- usa a forma sin x/x, que é uma forma clássica de limite. Sabemos que
limxto0^-sin xx =limxto0^+sin xx =1

Passo 5

Para que f seja contínua em 0, precisamos que
f(0)=limxto0^+f(x)=limxto0^-f(x)
Isso implica
k = 1

Resposta

k=1

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