Calcule o limite e justifique cada passagem indicando a propriedade apropriada dos limites.
lim x infty (1-x)(2+x)(1+2 x)(2-3 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve polinômios quando $ x $ vai para o infinito. A matéria que vamos usar aqui é o estudo de limites de funções racionais. Vamos precisar analisar os termos de maior grau no numerador e denominador para encontrar o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o numerador (1 - x)(2 + x). Usando a distributiva, temos:
(1 - x)(2 + x) = 1 cdot 2 + 1 cdot x - x cdot 2 - x cdot x = 2 + x - 2x - x^2 = 2 - x - x^2

Passo 3

Agora, vamos expandir o denominador (1 + 2x)(2 - 3x). Também aplicando a distributiva:
(1 + 2x)(2 - 3x) = 1 cdot 2 + 1 cdot (-3x) + 2x cdot 2 + 2x cdot (-3x) = 2 - 3x + 4x - 6x^2 = 2 + x - 6x^2

Passo 4

Vamos identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é -x^2, e no denominador é -6x^2.

Passo 5

Para calcular o limite quando $ x $ vai para o infinito, comparamos apenas os termos de maior grau:
x

Resposta

O limite é dfrac16.

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