Calcule o limite: justifique sua resposta.
lim (x, y) (0,0) x^6+y^2x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim(x, y) (0,0) x^6+y^2x^2+y^2. Esse exercício está ligado ao estudo de limites de funções de duas variáveis, que faz parte da matemática avançada, especialmente em cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar o comportamento da função quando x e y se aproximam de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o denominador da fração: x^2 + y^2. Esse termo evita que a função tenha uma divisão por zero no ponto (0,0). Agora, no numerador, temos x^6 + y^2. A ideia aqui é entender qual termo vai dominar à medida que x e y se aproximam de zero.

Passo 3

Vamos analisar os termos individualmente. Quando x 0, x^6 tende a zero bem mais rápido do que x^2. Já o termo y^2 no numerador é idêntico ao y^2 no denominador. Isso sugere que, perto de (0,0), o comportamento do limite é principalmente influenciado pelo termo y^2.

Passo 4

Para tornar isso mais claro, podemos dividir numerador e denominador por x^2 + y^2:
x^6 + y^2x^2 + y^2 = x^6x^2 + y^2 + y^2x^2 + y^2
O primeiro termo x^6x^2 + y^2 tende a zero, pois x^6 diminui muito mais rápido do que x^2. O segundo termo y^2x^2 + y^2 é igual a 1 quando y neq 0.

Passo 5

Portanto, ao somarmos esses dois comportamentos, temos que o limite da função é:
0 + 1 = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

Exercícios relacionados