Mostre que os limites não existem:
lim (x, y) (0,0) 3 x yraiz4 x^4+5 y^4

Passo 1

Então, a gente tem que mostrar que o limite lim (x, y) (0,0) 3 x yraiz4 x^4+5 y^4 não existe. Isso envolve entender limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função quando (x, y) se aproxima de (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar o caminho onde , onde é uma constante. Substituindo isso na função, temos:
Quando , o limite nessa direção é .

Passo 3

Agora, vamos escolher valores específicos para k e ver se o limite muda. Por exemplo:
  • Se k = 0, temos:
3 cdot 0raiz4 + 0 = 0
  • Se k = 1, temos:
3 cdot 1raiz4 + 5 = 33 = 1
  • Se k = 2, temos:
3 cdot 2raiz4 + 5 cdot 16 = 6raiz84 = 62raiz21 = 3raiz21

Passo 4

Percebemos que o valor do limite depende de k, ou seja, do caminho que escolhemos para (x, y) se aproximar de (0,0). Como o limite assume valores diferentes para diferentes caminhos, isso significa que o limite geral não existe.

Resposta

O limite lim (x, y) (0,0) 3 x yraiz4 x^4+5 y^4 não existe porque ele assume valores diferentes dependendo do caminho escolhido para (x, y) se aproximar de (0,0).

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