Mostre que os limites não existem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis:
. O objetivo é mostrar que esse limite não existe. Para isso, vamos precisar entender sobre limites de funções de várias variáveis e analisar diferentes caminhos para ver se o resultado muda.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar calcular o limite caminhando ao longo do eixo
. Isso significa que
, então a função fica:
Passo 3
Simplificando
, lembrando que para
próximo de 0,
tem o mesmo sinal de
. Então:
Mas para simplificar, vamos considerar
, então:
Quando
tende a 0,
também tende a 0. Então, pelo caminho
, o limite é 0.
Passo 4
Agora, vamos tentar outro caminho. Vamos escolher
. Assim, substituindo na função:
Quando
tende a 0,
também tende a 0. Então, pelo caminho
, o limite também é 0.
Passo 5
Agora, vamos escolher um caminho diferente onde
depende de
de uma forma que pode alterar o resultado. Por exemplo, vamos escolher
onde
é um expoente que vamos determinar.
Substituindo na função:
Para que o denominador não anule o resultado, precisamos analisar qual termo domina quando
.
Passo 6
Precisamos comparar
e
. Se
, então
domina; se
, então
domina.
Vamos escolher
, ou seja,
:
Quando
,
, então o limite é
.
Passo 7
Agora, vamos escolher
tal que
, ou seja,
. Já vimos esse caso e o limite foi 0.
Para variar, vamos escolher
, por exemplo,
, que já vimos também dá 0.
Parece que em todos os caminhos escolhidos o limite é 0, então por que o limite não existe? Talvez precisamos de um caminho onde o denominador se comporte de forma que o limite não seja 0.
Passo 8
Vamos tentar um caminho onde
e
não estão relacionados por uma potência simples. Por exemplo, vamos deixar
positivo e deixar
.
Substituindo na função:
Quando
, o limite é 0 novamente.
Passo 9
Percebi que todos os caminhos tentados até agora dão o limite 0. Mas vamos analisar a função original mais de perto. A parte dentro da raiz é
. Para a raiz ser real, precisamos que
. Isso impõe que
deve ser maior ou igual a
.
No entanto, se
for negativo,
também é negativo. Talvez isso afete o comportamento da função.
Passo 10
Vamos tentar um caminho onde
é negativo. Por exemplo,
e
, com
.
Substituindo:
Dentro da raiz, temos
. Para
próximo de 0,
domina
, então:
Então:
Quando
, o limite é 0.
Passo 11
Parece que independentemente do caminho que escolhemos, o limite tende a 0. Porém, para afirmar que o limite existe e é 0, precisaríamos provar que para qualquer caminho o limite é 0, o que é complicado.
Mas para mostrar que o limite não existe, basta encontrar dois caminhos que dão resultados diferentes. Como todos os caminhos que tentamos deram 0, talvez o limite exista.
No entanto, há uma sutileza: a expressão dentro da raiz,
, pode ser complexa ou não definida para certos caminhos, o que pode indicar que o limite não existe.
Passo 12
Considerando que a raiz quadrada precisa de um número não negativo, a condição
impõe restrições. Se tentarmos caminhos onde
, a função não está definida. Isso indica que a função não se comporta de forma consistente em todos os caminhos, reforçando que o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.