Mostre que os limites não existem:
lim (x, y) (0,0) x^3raizx^3+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis: lim (x, y) (0,0) x^3raizx^3+y^2. O objetivo é mostrar que esse limite não existe. Para isso, vamos precisar entender sobre limites de funções de várias variáveis e analisar diferentes caminhos para ver se o resultado muda.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite caminhando ao longo do eixo y = 0. Isso significa que y = 0, então a função fica:
x^3raizx^3+0^2 = x^3raizx^3

Passo 3

Simplificando raizx^3, lembrando que para x próximo de 0, x^3 tem o mesmo sinal de x. Então:
raizx^3 = |x|^32 cdot sgn(x)
Mas para simplificar, vamos considerar x > 0, então:
x^3raizx^3 = x^32
Quando x tende a 0, x^32 também tende a 0. Então, pelo caminho y = 0, o limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos tentar outro caminho. Vamos escolher y = x^32. Assim, substituindo na função:
x^3raizx^3+x^3 = x^3raiz2x^3 = x^3x^32 raiz2 = x^32raiz2
Quando x tende a 0, x^32 também tende a 0. Então, pelo caminho y = x^32, o limite também é 0.

Passo 5

Agora, vamos escolher um caminho diferente onde y depende de x de uma forma que pode alterar o resultado. Por exemplo, vamos escolher y = x^k onde k é um expoente que vamos determinar.
Substituindo na função:
x^3raizx^3 + x^2k
Para que o denominador não anule o resultado, precisamos analisar qual termo domina quando x to 0.

Passo 6

Precisamos comparar x^3 e x^2k. Se 3 < 2k, então x^3 domina; se 3 > 2k, então x^2k domina.
Vamos escolher k = 1, ou seja, y = x:
x^3raizx^3 + x^2 = x^3raizx^2(x + 1) = x^3x raizx + 1 = x^2raizx + 1
Quando x to 0, raizx + 1 to 1, então o limite é 0.

Passo 7

Agora, vamos escolher k tal que 3 = 2k, ou seja, k = 32. Já vimos esse caso e o limite foi 0.
Para variar, vamos escolher k < 32, por exemplo, k = 1, que já vimos também dá 0.
Parece que em todos os caminhos escolhidos o limite é 0, então por que o limite não existe? Talvez precisamos de um caminho onde o denominador se comporte de forma que o limite não seja 0.

Passo 8

Vamos tentar um caminho onde x e y não estão relacionados por uma potência simples. Por exemplo, vamos deixar x positivo e deixar y = -x^32.
Substituindo na função:
x^3raizx^3 + (-x^32)^2 = x^3raizx^3 + x^3 = x^3raiz2x^3 = x^3x^32 raiz2 = x^32raiz2
Quando x to 0, o limite é 0 novamente.

Passo 9

Percebi que todos os caminhos tentados até agora dão o limite 0. Mas vamos analisar a função original mais de perto. A parte dentro da raiz é x^3 + y^2. Para a raiz ser real, precisamos que x^3 + y^2 >= 0. Isso impõe que x^3 deve ser maior ou igual a -y^2.
No entanto, se x for negativo, x^3 também é negativo. Talvez isso afete o comportamento da função.

Passo 10

Vamos tentar um caminho onde x é negativo. Por exemplo, x = -t e y = t, com t to 0.
Substituindo:
(-t)^3raiz(-t)^3 + t^2 = -t^3raiz-t^3 + t^2
Dentro da raiz, temos -t^3 + t^2. Para t próximo de 0, t^2 domina -t^3, então:
raizt^2 - t^3 approx raizt^2 = |t| = t
Então:
-t^3t = -t^2
Quando t to 0, o limite é 0.

Passo 11

Parece que independentemente do caminho que escolhemos, o limite tende a 0. Porém, para afirmar que o limite existe e é 0, precisaríamos provar que para qualquer caminho o limite é 0, o que é complicado.
Mas para mostrar que o limite não existe, basta encontrar dois caminhos que dão resultados diferentes. Como todos os caminhos que tentamos deram 0, talvez o limite exista.
No entanto, há uma sutileza: a expressão dentro da raiz, raizx^3 + y^2, pode ser complexa ou não definida para certos caminhos, o que pode indicar que o limite não existe.

Passo 12

Considerando que a raiz quadrada precisa de um número não negativo, a condição x^3 + y^2 >= 0 impõe restrições. Se tentarmos caminhos onde x^3 + y^2 < 0, a função não está definida. Isso indica que a função não se comporta de forma consistente em todos os caminhos, reforçando que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados