Mostre que os limites não existem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o limite
não existe. Estamos lidando com limites em funções de duas variáveis, que faz parte do estudo de Cálculo Multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender como os limites funcionam em várias direções e verificar se o limite é o mesmo independente do caminho que a gente escolhe para chegar no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um limite existir em várias variáveis, ele precisa ter o mesmo valor independente do caminho que a gente escolhe para se aproximar do ponto onde estamos calculando o limite. Isso significa que se a gente encontrar dois caminhos diferentes que resultam em limites diferentes, já podemos concluir que o limite geral não existe.
Passo 3
Então, vamos escolher dois caminhos diferentes para nos aproximarmos de
e calcular o limite ao longo desses caminhos. Se obtivermos resultados diferentes, isso prova que o limite não existe.
Passo 4
Primeiro Caminho: Vamos considerar o caminho onde
. Nesse caso, substituindo
na função, temos:
À medida que
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0. Portanto,
Segundo Caminho: Agora, vamos considerar o caminho onde
. Substituindo
na função, temos:
À medida que
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0.
Até aqui, ambos os caminhos resultaram no limite 0. Vamos tentar outro caminho para ver se conseguimos resultados diferentes.
Passo 5
Terceiro Caminho: Vamos agora escolher o caminho onde
, onde
é uma constante qualquer diferente de 0. Substituindo
na função:
À medida que
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0.
Parece que todos os caminhos testados até agora resultam no limite 0. Vamos tentar um caminho diferente, que pode nos dar um resultado distinto.
Passo 6
Quarto Caminho: Vamos escolher um caminho não linear, por exemplo,
. Substituindo
:
À medida que
se aproxima de 0 pela direita (
), a expressão se comporta de forma diferente:
Ainda assim, o limite é 0. Talvez precisemos reconsiderar nossa abordagem.
Passo 7
Na verdade, parece que todos os caminhos que tentamos levam o limite a 0. Porém, para sermos conclusivos, vamos usar coordenadas polares para analisar o comportamento da função.
Converter para coordenadas polares onde
e
:
À medida que
se aproxima de 0, o termo
tende a 0 independentemente de
. Portanto, parece que o limite existe e é igual a 0.
Resposta
Após analisar múltiplos caminhos e converter para coordenadas polares, concluímos que o limite
é igual a 0.