Calcule o limite: justifique sua resposta.
lim (x, y) (0,0) y sen xx y+2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim (x, y) (0,0) y sin xx y + 2 x. Esse exercício está no tópico de limites de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites quando mais de uma variável está envolvida e usar algumas propriedades de funções trigonométricas e álgebra básica.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão que queremos calcular o limite: y sin xx y + 2 x. Nosso objetivo é ver o que acontece com essa fração quando tanto x quanto y se aproximam de 0.

Passo 3

Observamos que no denominador podemos fatorar o x, ficando assim: x y + 2 x = x(y + 2). Então, a expressão fica y sin xx(y + 2). Isso simplifica um pouco as coisas e nos ajuda a ver melhor o que está acontecendo.

Passo 4

Agora, vamos lembrar que sin x quando x está próximo de 0 é aproximadamente igual a x. Isso é uma aproximação útil, porque limx to 0 sin xx = 1. Então, podemos substituir sin x por x na nossa expressão para facilitar o cálculo.

Passo 5

Substituindo sin x por x, temos:
y sin xx(y + 2) approx y cdot xx(y + 2)
Os x no numerador e denominador se cancelam:
y cdot cancelxcancelx(y + 2) = yy + 2

Passo 6

Agora, vamos analisar o limite de yy + 2 quando y se aproxima de 0:
limy to 0 yy + 2 = 00 + 2 = 02 = 0
Então, concluímos que o limite da nossa expressão original também é 0.

Resposta

O limite é igual a 0.

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