Calcule o limite: justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Esse exercício está no tópico de limites de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites quando mais de uma variável está envolvida e usar algumas propriedades de funções trigonométricas e álgebra básica.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão que queremos calcular o limite:
. Nosso objetivo é ver o que acontece com essa fração quando tanto
quanto
se aproximam de 0.
Passo 3
Observamos que no denominador podemos fatorar o
, ficando assim:
. Então, a expressão fica
. Isso simplifica um pouco as coisas e nos ajuda a ver melhor o que está acontecendo.
Passo 4
Agora, vamos lembrar que
quando
está próximo de 0 é aproximadamente igual a
. Isso é uma aproximação útil, porque
. Então, podemos substituir
por
na nossa expressão para facilitar o cálculo.
Passo 5
Substituindo
por
, temos:
Os
no numerador e denominador se cancelam:
Passo 6
Agora, vamos analisar o limite de
quando
se aproxima de 0:
Então, concluímos que o limite da nossa expressão original também é 0.
Resposta
O limite é igual a 0.