Q. 4 Resolva a equação de segunda ordem
y^{\prime \prime}=-\left(y^{\prime}\right)^{2},
introduzindo a variável v=y^{\prime}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de segunda ordem
y'' = -\bigl(y'\bigr)^{2}
e propõe a mudança de variável
v = y'.
Dessa forma transformamos a EDO de ordem 2 em uma EDO de primeira ordem para v(x).

Passo 2

Como v = y', temos
y'' = \frac{dv}{dx}.
Substituindo na equação original, obtemos a EDO de primeira ordem
\frac{dv}{dx} = -v^{2}.

Passo 3

Reconhecemos que essa EDO é separável. Escrevemos as variáveis em lados opostos:
\frac{dv}{v^{2}} = -\,dx.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int \frac{dv}{v^{2}} = -\int dx.
No lado esquerdo,
\int v^{-2}\,dv = -\,v^{-1} = -\frac{1}{v}.
Logo
-\frac{1}{v} = -x + C_{1},
ou seja
\frac{1}{v} = x + C_{1}',
onde C_{1}'=-C_{1} é constante arbitrária. Assim
v = \frac{1}{x + C_{1}}.

Passo 5

Retornando à variável original, v=y', temos
y' = \frac{1}{x + C_{1}}.
Agora basta integrar em x:
y = \int \frac{dx}{x + C_{1}} = \ln\bigl|x + C_{1}\bigr| + C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração.

Resposta

y(x) = \ln\bigl|x + C_{1}\bigr| + C_{2}.

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