Calcule o limite lateral a direita e a esquerda dos pontos indicados das seguintes funçōes :
c. em -2 e em 3 de
c. em -2 e em 3 de
Passo 1
O enunciado pede que calculemos os limites laterais à direita e à esquerda nos pontos
e
da função
Informações dadas e alvo: calcular
Passo 2
Verificamos o valor do denominador nos pontos indicados para ver se há indeterminação ou assíntota vertical. Calculemos o denominador em
e em
:
Logo, em
e em
o denominador é zero (porque aparecem os fatores
e
). Agora o numerador nesses pontos:
Como o denominador tende a zero enquanto o numerador tende a um número diferente de zero, temos assíntotas verticais nesses pontos e os limites laterais serão
. Resta determinar o sinal (
ou
) de cada lado.
Passo 3
Estratégia para determinar o sinal: escrever
com a fatoração do denominador e analisar o sinal dos fatores próximos aos pontos. Escrevemos
O sinal de
perto de um ponto em que o denominador zera é dado pelo sinal do numerador (que é contínuo) dividido pelo sinal do produto
(o
não altera o sinal). Se o numerador em torno do ponto for constante em sinal (não muda exatamente no ponto porque não zera ali), podemos usar o valor no ponto para inferir o sinal próximo.
Passo 4
Vamos checar o sinal do numerador
perto de cada ponto. Podemos achar as raízes do numerador para saber onde ele muda de sinal:
Aproximações:
e
. Como o polinômio é uma parábola com coeficiente líder positivo, temos:
- para
entre e o numerador é negativo; - para
ou o numerador é positivo.
Portanto:
- em
(que está entre e ), o numerador é negativo perto de (confirmamos: vale exatamente); - em
(maior que ), o numerador é positivo perto de (confirmamos: vale exatamente).
Passo 5
Agora analisamos o sinal do denominador, olhando para os fatores
e
, testando à esquerda e à direita de cada ponto.
Perto de
:
- para
(valores ligeiramente menores que ): (pequeno negativo) e (≈ negativo). Produto é positivo. Multiplicando por , o denominador é positivo à esquerda de . - para
(valores ligeiramente maiores que ): (pequeno positivo) e . Produto é negativo. Denominador negativo à direita de .
Perto de
:
- para
(valores ligeiramente menores que ): (pequeno negativo) e (≈5 positivo). Produto é negativo. Denominador negativo à esquerda de . - para
(valores ligeiramente maiores que ): e . Produto positivo. Denominador positivo à direita de .
Passo 6
Combinamos os sinais do numerador e do denominador para determinar o sinal de
e, portanto, o sentido da divergência para
.
Para
:
- numerador ≈ negativo,
- denominador ≈ positivo,
logoé negativo e explode em módulo →
Para
:
- numerador ≈ negativo,
- denominador ≈ negativo,
logoé positivo e explode →
Passo 7
Agora para
:
Para
:
- numerador ≈ positivo,
- denominador ≈ negativo,
logoé negativo e explode →
Para
:
- numerador ≈ positivo,
- denominador ≈ positivo,
logoé positivo e explode →