Calcule o limite lateral a direita e a esquerda dos pontos indicados das seguintes funçōes :
c. em -2 e em 3 de f(x)=\frac{x^{2}+2 x-4}{2 x^{2}-2 x-12}

Passo 1

O enunciado pede que calculemos os limites laterais à direita e à esquerda nos pontos x=-2 e x=3 da função
f(x)=\frac{x^{2}+2x-4}{2x^{2}-2x-12}.
Informações dadas e alvo: calcular
\lim_{x\to -2^-} f(x),\; \lim_{x\to -2^+} f(x),\; \lim_{x\to 3^-} f(x),\; \lim_{x\to 3^+} f(x).

Passo 2

Verificamos o valor do denominador nos pontos indicados para ver se há indeterminação ou assíntota vertical. Calculemos o denominador em x=-2 e em x=3:
2x^{2}-2x-12 = 2(x^{2}-x-6)=2(x-3)(x+2).
Logo, em x=-2 e em x=3 o denominador é zero (porque aparecem os fatores x+2 e x-3). Agora o numerador nesses pontos:
\text{em }x=-2:\quad (-2)^{2}+2(-2)-4 = 4-4-4 = -4 \neq 0,
\text{em }x=3:\quad 3^{2}+2\cdot3-4 = 9+6-4 = 11 \neq 0.
Como o denominador tende a zero enquanto o numerador tende a um número diferente de zero, temos assíntotas verticais nesses pontos e os limites laterais serão \pm\infty. Resta determinar o sinal ( +\infty ou -\infty) de cada lado.

Passo 3

Estratégia para determinar o sinal: escrever f(x) com a fatoração do denominador e analisar o sinal dos fatores próximos aos pontos. Escrevemos
f(x)=\frac{x^{2}+2x-4}{2(x-3)(x+2)}.
O sinal de f(x) perto de um ponto em que o denominador zera é dado pelo sinal do numerador (que é contínuo) dividido pelo sinal do produto (x-3)(x+2) (o 2>0 não altera o sinal). Se o numerador em torno do ponto for constante em sinal (não muda exatamente no ponto porque não zera ali), podemos usar o valor no ponto para inferir o sinal próximo.

Passo 4

Vamos checar o sinal do numerador x^{2}+2x-4 perto de cada ponto. Podemos achar as raízes do numerador para saber onde ele muda de sinal:
x^{2}+2x-4=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{-2\pm\sqrt{4+16}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{2}=-1\pm\sqrt{5}.
Aproximações: -1-\sqrt{5}\approx -3{,}236 e -1+\sqrt{5}\approx 1{,}236. Como o polinômio é uma parábola com coeficiente líder positivo, temos:
  • para x entre -3{,}236 e 1{,}236 o numerador é negativo;
  • para x>1{,}236 ou x<-3{,}236 o numerador é positivo.
Portanto:
  • em x=-2 (que está entre -3{,}236 e 1{,}236), o numerador é negativo perto de -2 (confirmamos: vale -4 exatamente);
  • em x=3 (maior que 1{,}236), o numerador é positivo perto de 3 (confirmamos: vale 11 exatamente).

Passo 5

Agora analisamos o sinal do denominador, olhando para os fatores (x+2) e (x-3), testando à esquerda e à direita de cada ponto.
Perto de x=-2:
  • para x=-2^{-} (valores ligeiramente menores que -2): x+2<0 (pequeno negativo) e x-3<0 (≈ -5 negativo). Produto (x-3)(x+2) é positivo. Multiplicando por 2>0, o denominador é positivo à esquerda de -2.
  • para x=-2^{+} (valores ligeiramente maiores que -2): x+2>0 (pequeno positivo) e x-3<0. Produto (x-3)(x+2) é negativo. Denominador negativo à direita de -2.
Perto de x=3:
  • para x=3^{-} (valores ligeiramente menores que 3): x-3<0 (pequeno negativo) e x+2>0 (≈5 positivo). Produto (x-3)(x+2) é negativo. Denominador negativo à esquerda de 3.
  • para x=3^{+} (valores ligeiramente maiores que 3): x-3>0 e x+2>0. Produto positivo. Denominador positivo à direita de 3.

Passo 6

Combinamos os sinais do numerador e do denominador para determinar o sinal de f(x) e, portanto, o sentido da divergência para \pm\infty.
Para x\to -2^{-}:
  • numerador ≈ negativo,
  • denominador ≈ positivo,
    logo f(x) é negativo e explode em módulo → \lim_{x\to -2^{-}} f(x) = -\infty.
Para x\to -2^{+}:
  • numerador ≈ negativo,
  • denominador ≈ negativo,
    logo f(x) é positivo e explode → \lim_{x\to -2^{+}} f(x) = +\infty.

Passo 7

Agora para x=3:
Para x\to 3^{-}:
  • numerador ≈ positivo,
  • denominador ≈ negativo,
    logo f(x) é negativo e explode → \lim_{x\to 3^{-}} f(x) = -\infty.
Para x\to 3^{+}:
  • numerador ≈ positivo,
  • denominador ≈ positivo,
    logo f(x) é positivo e explode → \lim_{x\to 3^{+}} f(x) = +\infty.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to -2^{-}} f(x) = -\infty
\displaystyle \lim_{x\to -2^{+}} f(x) = +\infty
\displaystyle \lim_{x\to 3^{-}} f(x) = -\infty
\displaystyle \lim_{x\to 3^{+}} f(x) = +\infty

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