Obtenha a equação do plano tangente ao gráfico da função f(x, y)=(y^2+1) x e^2 no ponto P=(0,-1, f(0,-1)).

Passo 1

Estamos procurando a equação do plano tangente ao gráfico da função
f(x,y) = (y^2+1),x,e^2
no ponto P=(0,-1,f(0,-1)).
Conteúdo envolvido: cálculo de derivadas parciais e uso da fórmula do plano tangente
z = f(x0,y0) + fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)

Passo 2

Calculemos primeiro o valor de f em (0,-1):
f(0,-1) = l((-1)^2+1r)cdot 0cdot e^2 = (1+1)cdot 0cdot e^2 = 0
Logo o ponto de tangência é P=(0,-1,0).

Passo 3

Agora obtenhamos as derivadas parciais de f:
f(x,y) = e^2,x,(y^2+1)
Diferenciando em relação a x:
fx(x,y) = e^2,(y^2+1)
E em relação a y:
fy(x,y) = e^2,xcdot 2y = 2y,e^2,x

Passo 4

Avaliamo-las no ponto (0,-1):
fx(0,-1) = e^2,l((-1)^2+1r) = e^2cdot 2 = 2e^2,
fy(0,-1) = 2cdot(-1),e^2cdot 0 = 0

Passo 5

Substituindo na fórmula do plano tangente em (x0,y0,z0)=(0,-1,0):
z = 0 + (2e^2),(x - 0) + 0,(y + 1),
o que simplifica para
z = 2e^2,x

Resposta

A equação do plano tangente é
z = 2e^2,x

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