calcule o limite.
\lim _{h \rightarrow 0}\left(\frac{1}{h}-\frac{1}{h^{2}+h}\right).

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do seguinte limite quando h tende a zero:
\lim_{h\to 0}\left(\frac{1}{h}-\frac{1}{h^{2}+h}\right).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão envolve frações com denominadores h e h^{2}+h.
  • Note que h^{2}+h pode ser fatorado como h(h+1).
  • A expressão não está definida em h=0 (e também em h=-1), então o limite é considerado para valores de h próximos de 0, mas diferentes de 0.

Passo 2

Vou simplificar a expressão algébrica antes de aplicar o limite. Primeiro fatoro o denominador:
h^{2}+h = h(h+1).
Portanto a expressão fica
\frac{1}{h}-\frac{1}{h(h+1)}.
Observação: essa manipulação é válida para h\neq 0 (pois não podemos dividir por zero). Para o cálculo do limite h\to 0 isso é suficiente, já que trabalhamos em um punctured neighborhood de 0.

Passo 3

Agora coloco as duas frações sobre um denominador comum h(h+1). Escrevo cada parcela com esse denominador:
\frac{1}{h}=\frac{h+1}{h(h+1)} \qquad\text{e}\qquad \frac{1}{h(h+1)}=\frac{1}{h(h+1)}.
Substituindo na diferença:
\frac{1}{h}-\frac{1}{h(h+1)}=\frac{h+1}{h(h+1)}-\frac{1}{h(h+1)}.

Passo 4

Faço a subtração das frações com denominador comum:
\frac{h+1}{h(h+1)}-\frac{1}{h(h+1)}=\frac{(h+1)-1}{h(h+1)}=\frac{h}{h(h+1)}.
Agora simplifico a fração cancelando o fator h no numerador e denominador. Lembrando que essa cancelação é permitida porque estamos considerando h\neq 0:
\frac{h}{h(h+1)}=\frac{1}{h+1}.
Logo, para todo h próximo de 0 (exceto 0 propriamente), a expressão original é igual a \dfrac{1}{h+1}.

Passo 5

Como a função \dfrac{1}{h+1} é uma função racional contínua em torno de h=0 (o denominador h+1 não é zero em h=0), posso calcular o limite por substituição direta:
\lim_{h\to 0}\frac{1}{h+1}=\frac{1}{0+1}=\;1.
Assim, o limite da expressão original quando h\to 0 é 1.

Resposta

1

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