calcule o limite.
.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do seguinte limite quando
tende a zero:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão envolve frações com denominadores
e . - Note que
pode ser fatorado como . - A expressão não está definida em
(e também em ), então o limite é considerado para valores de próximos de , mas diferentes de .
Passo 2
Vou simplificar a expressão algébrica antes de aplicar o limite. Primeiro fatoro o denominador:
Portanto a expressão fica
Observação: essa manipulação é válida para
(pois não podemos dividir por zero). Para o cálculo do limite
isso é suficiente, já que trabalhamos em um punctured neighborhood de
.
Passo 3
Agora coloco as duas frações sobre um denominador comum
. Escrevo cada parcela com esse denominador:
Substituindo na diferença:
Passo 4
Faço a subtração das frações com denominador comum:
Agora simplifico a fração cancelando o fator
no numerador e denominador. Lembrando que essa cancelação é permitida porque estamos considerando
:
Logo, para todo
próximo de
(exceto
propriamente), a expressão original é igual a
.
Passo 5
Como a função
é uma função racional contínua em torno de
(o denominador
não é zero em
), posso calcular o limite por substituição direta:
Assim, o limite da expressão original quando
é
.