onde são dadas as informações: a>0 e b>0.
Itens relevantes fornecidos pelo enunciado:
A expressão depende de n que tende a infinito.
As bases a e b são estritamente positivas.
A operação é primeiro calcular a média \dfrac{a^{1/n}+b^{1/n}}{2} e depois elevar essa média à potência n.
Passo 2
Estratégia útil (sem resolver ainda): é comum em limites do tipo \left(\text{algo que tende a }1\right)^n tomar logaritmos para transformar potência em produto, ou fazer a substituição t=\tfrac{1}{n} e estudar um quociente do tipo \dfrac{\ln(\cdot)}{t} quando t\to0. Vou seguir esse caminho porque deixa a conta direta e rigorosa.
Passo 3
Aplicamos logaritmo natural à expressão e passamos o expoente para frente. Defina
Este é um quociente do tipo \dfrac{\ln(g(t))}{t} com g(t)=\dfrac{a^t+b^t}{2} e g(0)=1. Pelo limite que define a derivada no ponto 0, esse quociente tende ao valor da derivada de \ln(g(t)) em t=0, isto é,
Calculemos a derivada usando a regra da cadeia. Primeiro escrevemos
g(t)=\frac{a^t+b^t}{2}.
A derivada de a^t em relação a t é a^t\ln a. Logo
g'(t)=\frac{a^t\ln a + b^t\ln b}{2}.
Agora a derivada de \ln(g(t)) é
\frac{d}{dt}\ln(g(t))=\frac{g'(t)}{g(t)}=\frac{\dfrac{a^t\ln a + b^t\ln b}{2}}{\dfrac{a^t+b^t}{2}}=\frac{a^t\ln a + b^t\ln b}{a^t+b^t}.
Passo 6
Avalie essa expressão em t=0. Usando a^0=1 e b^0=1 obtemos
M=\left.\frac{a^t\ln a + b^t\ln b}{a^t+b^t}\right|_{t=0}=\frac{\ln a + \ln b}{2}.
Passo 7
Voltando ao limite original, lembramos que L=\exp(M). Assim
L=\exp\!\left(\frac{\ln a + \ln b}{2}\right).
Simplificamos usando propriedades do logaritmo e da exponencial:
\exp\!\left(\frac{\ln a + \ln b}{2}\right)=\left(e^{\ln a}e^{\ln b}\right)^{1/2}=(ab)^{1/2}=\sqrt{ab}.
Passo 8
Comentário rápido (checagem intuitiva): outra maneira de ver a mesma resposta é usar a expansão a^{1/n}=e^{(\ln a)/n}=1+\dfrac{\ln a}{n}+o\!\left(\dfrac{1}{n}\right) e proceder com a expansão de \ln(1+x); isso leva ao mesmo valor \dfrac{\ln a+\ln b}{2} para n\ln(\cdot) e novamente resulta em \sqrt{ab}. Essa é só uma confirmação alternativa.