Calcule o limite:
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{a^{1 / n}+b^{1 / n}}{2}\right)^{n}, \quad \text { onde } a>0, b>0

Passo 1

O problema pede o valor do limite
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{a^{1/n}+b^{1/n}}{2}\right)^{n},
onde são dadas as informações: a>0 e b>0.
Itens relevantes fornecidos pelo enunciado:
  • A expressão depende de n que tende a infinito.
  • As bases a e b são estritamente positivas.
  • A operação é primeiro calcular a média \dfrac{a^{1/n}+b^{1/n}}{2} e depois elevar essa média à potência n.

Passo 2

Estratégia útil (sem resolver ainda): é comum em limites do tipo \left(\text{algo que tende a }1\right)^n tomar logaritmos para transformar potência em produto, ou fazer a substituição t=\tfrac{1}{n} e estudar um quociente do tipo \dfrac{\ln(\cdot)}{t} quando t\to0. Vou seguir esse caminho porque deixa a conta direta e rigorosa.

Passo 3

Aplicamos logaritmo natural à expressão e passamos o expoente para frente. Defina
L=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{a^{1/n}+b^{1/n}}{2}\right)^{n}.
Se a seguir mostrarmos que o limite de n\ln\!\left(\dfrac{a^{1/n}+b^{1/n}}{2}\right) existe e é finito igual a M, então
L=\exp\left(M\right).
Portanto vamos calcular
M=\lim_{n\to\infty} n\ln\!\left(\frac{a^{1/n}+b^{1/n}}{2}\right).

Passo 4

Faço a substituição t=\dfrac{1}{n}. Quando n\to\infty temos t\to0^+. Reescrevendo M em função de t obtemos
M=\lim_{t\to0^+}\frac{\ln\!\left(\dfrac{a^{t}+b^{t}}{2}\right)}{t}.
Este é um quociente do tipo \dfrac{\ln(g(t))}{t} com g(t)=\dfrac{a^t+b^t}{2} e g(0)=1. Pelo limite que define a derivada no ponto 0, esse quociente tende ao valor da derivada de \ln(g(t)) em t=0, isto é,
M=\left.\frac{d}{dt}\ln\!\big(g(t)\big)\right|_{t=0}.

Passo 5

Calculemos a derivada usando a regra da cadeia. Primeiro escrevemos
g(t)=\frac{a^t+b^t}{2}.
A derivada de a^t em relação a t é a^t\ln a. Logo
g'(t)=\frac{a^t\ln a + b^t\ln b}{2}.
Agora a derivada de \ln(g(t)) é
\frac{d}{dt}\ln(g(t))=\frac{g'(t)}{g(t)}=\frac{\dfrac{a^t\ln a + b^t\ln b}{2}}{\dfrac{a^t+b^t}{2}}=\frac{a^t\ln a + b^t\ln b}{a^t+b^t}.

Passo 6

Avalie essa expressão em t=0. Usando a^0=1 e b^0=1 obtemos
M=\left.\frac{a^t\ln a + b^t\ln b}{a^t+b^t}\right|_{t=0}=\frac{\ln a + \ln b}{2}.

Passo 7

Voltando ao limite original, lembramos que L=\exp(M). Assim
L=\exp\!\left(\frac{\ln a + \ln b}{2}\right).
Simplificamos usando propriedades do logaritmo e da exponencial:
\exp\!\left(\frac{\ln a + \ln b}{2}\right)=\left(e^{\ln a}e^{\ln b}\right)^{1/2}=(ab)^{1/2}=\sqrt{ab}.

Passo 8

Comentário rápido (checagem intuitiva): outra maneira de ver a mesma resposta é usar a expansão a^{1/n}=e^{(\ln a)/n}=1+\dfrac{\ln a}{n}+o\!\left(\dfrac{1}{n}\right) e proceder com a expansão de \ln(1+x); isso leva ao mesmo valor \dfrac{\ln a+\ln b}{2} para n\ln(\cdot) e novamente resulta em \sqrt{ab}. Essa é só uma confirmação alternativa.

Resposta

\sqrt{ab}

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