e pede para discutir a diferenciabilidade de f em x=0.
Informações relevantes que temos à mão:
O valor de f em 0 é f(0)=0.
Para x\neq0 a expressão é \dfrac{x}{1+e^{1/x}}.
A pergunta é: a derivada f'(0) existe? Se existir, qual é; se não, por quê?]
Passo 2
Primeiro vamos checar continuidade em 0 (porque diferenciabilidade implica continuidade, então é bom confirmar que a função nem sequer falha na continuidade).
Usamos a desigualdade simples: para todo x\neq0 o denominador 1+e^{1/x} é maior ou igual a 1, logo
\left| \frac{x}{1+e^{1/x}} \right| \le |x|.
Como \lim_{x\to0}|x|=0, pelo teorema do confronto temos
\lim_{x\to0} f(x)=0=f(0).
Portanto f é contínua em 0.
Passo 3
Agora lembramos a definição de derivada em 0: f é diferenciável em 0 se existir o limite
Como eles são diferentes, o limite \lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x} não existe. Pelo critério da definição, f'(0) não existe, ou seja, f não é diferenciável em 0.
Passo 8
Um comentário final útil para a prova: a função é suave (diferenciável) em todo x\neq0 porque é razão/composição de funções exponenciais e polinomiais sem problema no denominador; o que causa a falha de diferenciabilidade é o comportamento singular do termo e^{1/x} quando x se aproxima de 0 de lados diferentes. Também temos os valores das derivadas laterais em 0: a derivada pela direita é 0 e pela esquerda é 1.
Resposta
f é contínua em 0, mas não é diferenciável em 0.\nf'_+(0)=0 e f'_-(0)=1.