Seja
f(x)= \begin{cases}\frac{x}{1+e^{1 / x}}, & x \neq 0 \\\\ 0, & x=0\end{cases}
Discuta a diferenciabilidade de f(x) em x=0

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= \begin{cases}\dfrac{x}{1+e^{1 / x}}, & x \neq 0 \\[6pt] 0, & x=0\end{cases}
e pede para discutir a diferenciabilidade de f em x=0.
Informações relevantes que temos à mão:
  • O valor de f em 0 é f(0)=0.
  • Para x\neq0 a expressão é \dfrac{x}{1+e^{1/x}}.
  • A pergunta é: a derivada f'(0) existe? Se existir, qual é; se não, por quê?]

Passo 2

Primeiro vamos checar continuidade em 0 (porque diferenciabilidade implica continuidade, então é bom confirmar que a função nem sequer falha na continuidade).
Usamos a desigualdade simples: para todo x\neq0 o denominador 1+e^{1/x} é maior ou igual a 1, logo
\left| \frac{x}{1+e^{1/x}} \right| \le |x|.
Como \lim_{x\to0}|x|=0, pelo teorema do confronto temos
\lim_{x\to0} f(x)=0=f(0).
Portanto f é contínua em 0.

Passo 3

Agora lembramos a definição de derivada em 0: f é diferenciável em 0 se existir o limite
f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}.
Para que esse limite exista é preciso que os limites laterais (pela direita e pela esquerda) coincidam:
\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)}{x} \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0^-}\frac{f(x)}{x}
devem ser iguais.

Passo 4

Simplificamos a expressão do quociente para x\neq0:
\frac{f(x)}{x}=\frac{\dfrac{x}{1+e^{1/x}}}{x}=\frac{1}{1+e^{1/x}}.
Portanto a existência de f'(0) depende de
\lim_{x\to0}\frac{1}{1+e^{1/x}}.

Passo 5

Calculamos o limite pela direita x\to0^+. Para x>0 temos \dfrac{1}{x}\to +\infty, e sabemos que
\lim_{t\to+\infty} e^{t}=+\infty.
Tomando t=\dfrac{1}{x}, obtemos e^{1/x}\to+\infty quando x\to0^+. Assim
\lim_{x\to0^+}\frac{1}{1+e^{1/x}}=\frac{1}{1+(\text{algo que diverge para }+\infty)}=0.
Logo o limite pela direita vale 0.

Passo 6

Agora o limite pela esquerda x\to0^-. Para x<0 temos \dfrac{1}{x}\to -\infty, e sabemos que
\lim_{t\to-\infty} e^{t}=0.
Tomando t=\dfrac{1}{x}, obtemos e^{1/x}\to0 quando x\to0^-. Assim
\lim_{x\to0^-}\frac{1}{1+e^{1/x}}=\frac{1}{1+0}=1.
Logo o limite pela esquerda vale 1.

Passo 7

Comparando os dois limites laterais:
\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)}{x}=0\quad\text{e}\quad \lim_{x\to0^-}\frac{f(x)}{x}=1.
Como eles são diferentes, o limite \lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x} não existe. Pelo critério da definição, f'(0) não existe, ou seja, f não é diferenciável em 0.

Passo 8

Um comentário final útil para a prova: a função é suave (diferenciável) em todo x\neq0 porque é razão/composição de funções exponenciais e polinomiais sem problema no denominador; o que causa a falha de diferenciabilidade é o comportamento singular do termo e^{1/x} quando x se aproxima de 0 de lados diferentes. Também temos os valores das derivadas laterais em 0: a derivada pela direita é 0 e pela esquerda é 1.

Resposta

f é contínua em 0, mas não é diferenciável em 0.\n f'_+(0)=0 e f'_-(0)=1.

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