Encontre a derivada e a diferencial da função:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a derivada e a diferencial da função
Informações dadas e o que precisamos entregar:
- A função é a soma de dois termos: o primeiro é um produto
e o segundo é uma potência com base e expoente dependentes de : . - Precisamos calcular a derivada
(isto é, ) e a diferencial (que é ).
Observação: toda a manipulação algébrica e regras de derivação necessárias serão apresentadas passo a passo a seguir.
Passo 2
Relembre — regras que vamos usar (explico cada uma quando aplicar):
- Regra do produto: se
, então . - Regra da cadeia: se
, então . - Regra do quociente (quando for útil): se
, então . - Derivada de potência com base e expoente variáveis: para
com , usamos diferenciação logarítmica: , então
ou seja
.
Vou aplicar essas regras passo a passo nos dois termos da função.
Vou aplicar essas regras passo a passo nos dois termos da função.
Passo 3
Derivada do primeiro fator da multiplicação: defina
Usamos a regra da cadeia: se
com
, então
Agora calculamos
usando a regra do quociente:
Substituindo em
:
Podemos simplificar a potência negativa:
Logo
Portanto
Passo 4
Derivada do primeiro termo completo, que é um produto
.
Aplicando a regra do produto:
Aplicando a regra do produto:
Substituindo
e
já encontrados:
Passo 5
Agora a segunda parcela:
.
Vamos usar diferenciação por logaritmo. Primeiro tomamos logaritmo natural:
Vamos usar diferenciação por logaritmo. Primeiro tomamos logaritmo natural:
Diferenciando ambos os lados em relação a
:
Agora calculemos as derivadas das partes:
Substituindo:
Multiplicando por
para obter
:
Observação didática rápida: na prática usamos que
.
Passo 6
Somando as duas derivações obtemos a derivada total
. Juntando os resultados dos Passos 4 e 5:
Expliquei cada termo: o primeiro vem de
, o segundo de
e o terceiro da derivada de
.
Passo 7
A diferencial
é simplesmente
. Portanto multiplicamos a expressão de
por
: