Encontre a derivada e a diferencial da função:
y=\sqrt{\frac{x+2}{x+5}} \sin x+(\arctan x)^{\tan x}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada e a diferencial da função
y=\sqrt{\frac{x+2}{x+5}}\sin x+(\arctan x)^{\tan x}.
Informações dadas e o que precisamos entregar:
  • A função é a soma de dois termos: o primeiro é um produto \sqrt{\dfrac{x+2}{x+5}}\cdot\sin x e o segundo é uma potência com base e expoente dependentes de x: (\arctan x)^{\tan x}.
  • Precisamos calcular a derivada y' (isto é, \dfrac{dy}{dx}) e a diferencial dy (que é y'\,dx).

    Observação: toda a manipulação algébrica e regras de derivação necessárias serão apresentadas passo a passo a seguir.

Passo 2

Relembre — regras que vamos usar (explico cada uma quando aplicar):
  • Regra do produto: se h(x)=u(x)\,v(x), então h'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
  • Regra da cadeia: se h(x)=\varphi(\psi(x)), então h'(x)=\varphi'(\psi(x))\cdot\psi'(x).
  • Regra do quociente (quando for útil): se t(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}, então t'(x)=\dfrac{p'(x)q(x)-p(x)q'(x)}{q(x)^2}.
  • Derivada de potência com base e expoente variáveis: para w(x)=f(x)^{g(x)} com f(x)>0, usamos diferenciação logarítmica: \ln w = g\ln f, então
\frac{w'}{w}=g'\ln f+g\frac{f'}{f},
ou seja w'=w\big(g'\ln f+g\frac{f'}{f}\big).

Vou aplicar essas regras passo a passo nos dois termos da função.

Passo 3

Derivada do primeiro fator da multiplicação: defina
u(x)=\sqrt{\frac{x+2}{x+5}}=\left(\frac{x+2}{x+5}\right)^{1/2}.
Usamos a regra da cadeia: se u(x)=\big(t(x)\big)^{1/2} com t(x)=(x+2)/(x+5), então
u'(x)=\frac{1}{2}\big(t(x)\big)^{-1/2}\cdot t'(x).
Agora calculamos t'(x) usando a regra do quociente:
t(x)=\frac{x+2}{x+5}\quad\Rightarrow\quad t'(x)=\frac{(1)(x+5)-(x+2)(1)}{(x+5)^2}=\frac{x+5-x-2}{(x+5)^2}=\frac{3}{(x+5)^2}.
Substituindo em u'(x):
u'(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{x+2}{x+5}\right)^{-1/2}\cdot\frac{3}{(x+5)^2}.
Podemos simplificar a potência negativa:
\left(\frac{x+2}{x+5}\right)^{-1/2}=\sqrt{\frac{x+5}{x+2}}.
Logo
u'(x)=\frac{3}{2}\cdot\frac{\sqrt{x+5}}{(x+5)^2\sqrt{x+2}} =\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{(x+5)^{3/2}\sqrt{x+2}}.
Portanto
\boxed{u'(x)=\frac{3}{2\sqrt{x+2}\,(x+5)^{3/2}}.}

Passo 4

Derivada do primeiro termo completo, que é um produto u(x)\sin x.
Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(u(x)\sin x\big)=u'(x)\sin x+u(x)\cos x.
Substituindo u(x) e u'(x) já encontrados:
\frac{d}{dx}\bigg(\sqrt{\frac{x+2}{x+5}}\sin x\bigg) =\frac{3}{2\sqrt{x+2}\,(x+5)^{3/2}}\sin x +\sqrt{\frac{x+2}{x+5}}\cos x.

Passo 5

Agora a segunda parcela: w(x)=(\arctan x)^{\tan x}.
Vamos usar diferenciação por logaritmo. Primeiro tomamos logaritmo natural:
\ln w(x)=\tan x\cdot\ln\big(\arctan x\big).
Diferenciando ambos os lados em relação a x:
\frac{w'(x)}{w(x)}=\frac{d}{dx}\big(\tan x\big)\cdot\ln(\arctan x)+\tan x\cdot\frac{d}{dx}\big(\ln(\arctan x)\big).
Agora calculemos as derivadas das partes:
\frac{d}{dx}\big(\tan x\big)=\operatorname{sec}^2 x=\frac{1}{\cos^2 x},
\frac{d}{dx}\big(\ln(\arctan x)\big)=\frac{1}{\arctan x}\cdot\frac{d}{dx}(\arctan x) =\frac{1}{\arctan x}\cdot\frac{1}{1+x^2}.
Substituindo:
\frac{w'(x)}{w(x)}=\operatorname{sec}^2 x\cdot\ln(\arctan x) +\tan x\cdot\frac{1}{\arctan x}\cdot\frac{1}{1+x^2}.
Multiplicando por w(x) para obter w'(x):
\boxed{w'(x)=(\arctan x)^{\tan x}\left[\operatorname{sec}^2 x\ln(\arctan x)+\frac{\tan x}{(1+x^2)\arctan x}\right].}
Observação didática rápida: na prática usamos que w'=w\cdot(\text{derivada do expoente}\times\ln(\text{base})+\text{expoente}\times\frac{\text{derivada da base}}{\text{base}}).

Passo 6

Somando as duas derivações obtemos a derivada total y'. Juntando os resultados dos Passos 4 e 5:
y'=\frac{3}{2\sqrt{x+2}\,(x+5)^{3/2}}\sin x +\sqrt{\frac{x+2}{x+5}}\cos x +(\arctan x)^{\tan x}\left[\operatorname{sec}^2 x\ln(\arctan x)+\frac{\tan x}{(1+x^2)\arctan x}\right].
Expliquei cada termo: o primeiro vem de u'\sin x, o segundo de u\cos x e o terceiro da derivada de (\arctan x)^{\tan x}.

Passo 7

A diferencial dy é simplesmente y'\,dx. Portanto multiplicamos a expressão de y' por dx:
dy=\bigg(\frac{3}{2\sqrt{x+2}\,(x+5)^{3/2}}\sin x +\sqrt{\frac{x+2}{x+5}}\cos x +(\arctan x)^{\tan x}\left[\operatorname{sec}^2 x\ln(\arctan x)+\frac{\tan x}{(1+x^2)\arctan x}\right]\bigg)\,dx.

Resposta

y'=\dfrac{3}{2\sqrt{x+2}\,(x+5)^{3/2}}\sin x+\sqrt{\dfrac{x+2}{x+5}}\cos x+(\arctan x)^{\tan x}\left[\operatorname{sec}^2 x\ln(\arctan x)+\dfrac{\tan x}{(1+x^2)\arctan x}\right]\n
dy=\left(\dfrac{3}{2\sqrt{x+2}\,(x+5)^{3/2}}\sin x+\sqrt{\dfrac{x+2}{x+5}}\cos x+(\arctan x)^{\tan x}\left[\operatorname{sec}^2 x\ln(\arctan x)+\dfrac{\tan x}{(1+x^2)\arctan x}\right]\right)\,dx

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